应用非线性动力系统中的几个问题

【摘要】：在这篇论文中，我们研究了应用非线性动力系统中的以下几个问题。 1．利用法向双曲不变流形理论和KAM定理的一个有限光滑性推广，我们证明了光滑扰动Hamilton系统中低维不变双曲胎面及其稳定和不稳定流形的保持性。与以前关于解析Hamilton系统中类似问题的证明相比较，我们的证明更加简洁明了。 2．我们考虑了著名的ABC(Arnold-Beltrami-Childress)流的一些动力学性质。通过一个新的KAM型定理和高维Melnikov方法，我们得到了此流中存在不变胎面和混沌流线的条件。这些结果直接否定了一个由Poincare，Birkhoff等人提出的遍历性猜测，同时也确证了Arnold引入此模型的原始动机。 3．我们考虑了关于数值计算与动力学的一个问题。特别地，我们考虑了周期强迫阻尼sine-Gordon方程，并证明了在其谱逼近下吸引子的存在性和收敛性。此结果从动力学角度为以前对此方程的简单Galerkin模态截断提供了合理性。 4．利用奇异扰动理论，我们定性地研究了一个经限制强迫阻尼sine-Gordon方程到其广义近似惯性流形上的逼近常微分方程。我们找到了一些同宿轨道和脉冲轨道，这些轨道的存在直接解释了以前在此方程的数值模拟中观察到的混沌跳跃行为。 5．通过可积系统的AKNS系统和引入波函数，我们提出了一种从发展方程的已知定态解求新的精确解的方法。特别地，用类似的方法我们找到了可积sine-Gordon方程的一簇重要的新的精确解。这些解包含了一些类似于扭结。反扭结和孤立子的解，它们对进一步的动力学研究是非常有意义的。