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0-1二次规划的全局最优性条件及算法

陈伟  
【摘要】:全局优化问题广泛见于工程、国防、经济等诸多重要领域,是数学规划理论的一个重要研究领域。本文首先讨论一类特殊结构的全局优化问题:二次规划的全局优化问题。我们给出了0-1二次规划的全局最优性条件,并讨论了其相应的算法。然后,对于一般结构的全局优化问题,我们给出了一个新的无参数的填充函数方法。 本论文的第一章介绍全局优化理论的一些研究成果。第二章讨论无约束0-1二次规划的全局最优性条件。在第二节得到一个充分条件和一个必要条件的基础上,我们希望能够得到一些充要条件。为此,我们首先在第三节中给出在线性约束条件下,(?)成为一个凸的二次函数的全局极大点的充分必要条件。从这个结论出发,在第四节,我们得到了无约束0-1二次问题全局最优的充分必要条件及其等价形式。在第五节,我们将注意力放在全局最优的必要条件上。我们得到的必要条件都不含对偶变量,仅用到原问题的数据。这样,这些条件在实际中都是可以被检验的。进一步,为了使必要条件在实际中易被检验、易操作,我们降低了必要条件中的维数,在比原问题维数更低的空间中,给出一些简洁的必要条件,以达到方便检验的目的。 在第三章,我们进一步研究有约束的0-1二次规划的全局最优条件。对于带有线性不等式约束的0-1二次问题,我们在第一节中得到了它全局最优的充分条件和必要条件。必要条件也不含对偶变量。当系数矩阵正定时,我们建立了原0-1问题的解与松弛问题的解之间的联系。对于带有线性等式约束的0-1二次问题,我们在第二节证明了一个带有线性等式约束的0-1二次规划问题,它的全局最优解集和其相应的罚问题的全局最优解集是相等的。这样,带有线性等式约束的0-1二次问题的解,可以通过无约束0-1二次规划问题的解得到。第三章的另一个内容是讨论0-1二次规划问题的实际应用。将我们得到的一些结论运用于极大团问题和二次分派问题,我们得出了一些相关的结论。 将全局最优条件发展成为可实现的算法,是全局优化研究中的重要的工作。本文的第四章讨论无约束0-1二次规划问题的算法。首先我们将原0-1问题化为一个等价的半正定的0-1二次问题。在得到这个半正定二次问题的松弛解x之后,取与x“最接近的”0-1解y,在一定的条件之下,y就是原0-1问题的全局最优解。由于松弛后的问题是凸的二次规划问题,可以在多项式时间内求解,所以,我们的算法是可实现的。为了确定y是否是原问题的最优解,我们设计了三种算法。在研究了第二章所给


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