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一阶椭圆型方程组边值问题的理论和数值计算

宋洁  
【摘要】:本文主要研究一阶椭圆型方程组的非线性Riemann边值问题和Riemann-Hilbert边值问题,并利用边界元方法讨论广义解析函数(一阶椭圆型方程组的一种特殊形式)的Riemann-Hilbert边值问题。 对于一阶椭圆型方程组的Riemann边值问题,是通过把它们转化为与原问题等价的奇异积分方程,利用广义解析函数理论、奇异积分方程理论、压缩原理或广义压缩原理,证明在某些假设条件下所讨论问题的解的存在性;对于一阶椭圆型方程组的Riemann-Hilbert边值问题,利用广义解析函数理论、Cauchy积分公式、函数论方法和不动点原理,证明在某些假设条件下所讨论问题的可解性;广义解析函数的Riemann-Hilbert边值问题的边界元方法是利用广义解析函数的广义Cauchy积分公式,引入Cauchy主值积分,通过对区域边界的离散化,得到边界积分方程,再利用边界条件得到问题的解。 本文的难点是方程的非线性或边界条件的非线性,在证明奇异积分方程的解的存在性时,要进行模的估计,此估计过程是一个复杂的计算过程。广义解析函数的Riemann-Hilbert边值问题的边界元方法是以Cauchy公式为基础,Cauchy核具有奇性,这是所面临的困难,可以设法利用Cauchy主值积分来解决,最后给出问题的解。


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