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可积系统与非等谱孤子方程的求解

孙业朋  
【摘要】:本文研究的主要内容包括:孤子方程族的生成和Lie群结构方程,Hamilton结构,Liouville可积性,无穷守恒律,Lax对与共轭Lax对的双非线性化及可积辛映射与有限维Hamilton系统,孤子方程的扩展可积模型。利用Hirota方法,Wronskian技巧来研究一些等谱与非等谱孤子方程的多孤子解。利用(2+1)维孤子系统的对称约束生成(1+1)维的孤子方程,并应用Gateaux导数与泛函导数的关系得到位势对称约束的完全形式。 在第二章中,首先从所建立的新谱问题出发导出一族Lax可积的孤子方程,并研究它的双Hamilton结构与Liouville可积性。应用Lax对与共轭Lax对的双非线性化方法生成新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。由此利用可换流的对合解给出孤子方程族解的对合表示。最后构造新的Loop代数(?),得到该方程族的扩展可积模型。 第三章主要研究三个离散的等谱问题。首先从第一离散的谱问题导出一类晶格孤子方程,并证明它具有离散的Hamilton结构与Liouville可积性。通过双非线性化方法生成新的有限维Hamilton可积系统与可积辛映射,并给出它的无穷守恒律。其次,构造新的代数系统,导出与Lotka-Volterra格相关的离散方程族,并研究它的可积性与可积耦合。最后从第三谱问题出发导出离散孤子方程的正负族,并求出位势函数和特征函数的对称约束,由Lax对的非线性化产生新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。 第四章首先从Lie群结构方程导出非等谱AKNS方程族。通过选取Loop代数建立非等谱AKNS方程族的扩展可积模型。利用Hirota方法获得非等谱AKNS方程的双线性导数方程,并给出N-孤子解的表达式。应用Wronskian技巧证明非等谱AKNS方程具有双Wronskian解。通过约化获得非等谱Schr(?)dinger方程与它的N-孤子解和Wronskian解。最后建立非等谱AKNS方程的广义双Wronskian解。其所用的技术可推广到其它非等谱方程。 第五章对Hirota方法作直接地推广。以修正Vakhnenko方程为例,求得Hirota形式的新解。对于Wronskian技巧,引入对参数的求导,以修正Bogoyavlenskii-Schiff方程为例,得到广义的新Wronskian解。 第六章主要研究2+1维孤子系统的位势约束问题。通过高维孤子系统的位势约束生成低维的孤子方程族。首先由KP系统的对称约束生成了AKNS方程族,并给出其隐形表示。进而推广KP系统的约束,且求得多元的非等谱AKNS方程族。


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