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积分变换在Busemann-Petty型问题中的应用研究

吕松军  
【摘要】: 本学位论文致力于研究积分变换在凸几何极值问题,尤其是在Busemann-Petty型问题中的应用,这一研究方向近十年来在国际上空前繁荣并解决了一系列凸几何学中的经典难题,最著名的当属Busemann-Petty问题及其形形色色的推广的研究.而低维广义Busemann-Petty问题的悬而未决正使得该方向的研究进一步走向深入,也使得越来越多的数学家加入到了这一方向的研究之中. 着眼于Radon变换和分布的Fourier变换在解决Busemann-Petty型问题时所体现出的强大力量,本文利用这两种变换继续研究一些未决的Busemann-Petty型问题,并探讨Busemann-Petty型问题与积分变换之间的本质联系.研究的内容涉及著名的广义Busemann-Petty问题,Koldobsky提出的广为人知的Busemann-Petty问题的分析推广,Funk截面定理,体积单位化Lp-极投影体算子Γ-p的单调性问题,以及L_p-Winterniz单调性问题等. 利用i-维球面Radon变换的性质,第二章给出了Funk截面定理的一个实质性推广,这一结果与Chakerian和Lutwak对Aleksandrov投影定理的一个推广精确对偶,但在方法上却与Chakerian和Lutwak的完全“非对偶”.这个结果还进一步验证了凸体/星体,投影/截面,投影体/截面体,混合体积/对偶混合体积之间的神奇的对偶性. 在第三章中,通过改进i-维球面Radon变换的应用技巧,我们从两个不同的新角度研究了广义Busemann-Petty问题及其解答.第一个角度全面推广了广义Busemann-Petty问题本身的提法,并使得广义Busemann-Petty问题及其解的充要条件可由我们的结果的特殊情形给出.而从第二个角度出发我们推广了Zhang关于广义Busemann-Petty问题的一个特定正解,并得到了i-维体积大小关系的两个等价命题,进而给出了广义Busemann-Petty问题的一个等价表述.这一等价表述将使得利用线性变换来研究广义Busemann-Petty问题变得十分方便. 与L_p-质心体的单调性问题类似,星体K的体积单位化L_P-极投影体Γ-pK的单调性问题可表述为:对p>0和R~n中原点中心对称凸体K和L,Γ-pK ??Γ-pL是否一定蕴涵K的体积小于等于L的?第四章采用Fourier分析的方法建立了这一问题在p≥1时的一般解.我们证明了当p=1时其解为正的充要条件是空间维数n=2;而对任意的p>1和任意的n≥2,这一问题的解均为负. L_p-Winterniz单调性问题则探讨凸体的Firey投影的包含与凸体的L_p-仿射表面积比较之间的关系.关于这一问题的相关文献很多,但鲜有讨论其一般解的.第五章完全解决了这一问题,证明了L_1-winterniz单调性问题的解为肯定当且仅当空间维数n≤2;而同样对任意的p>1和任意的n≥2,L_p-winterniz单调性问题的解都为否定. 此外,我们还在第六章中研究了Koldobsky建立的Busemann-Petty问题的一个分析推广与正定分布之间的重要联系,并得到了KoldObsky的系列结果的相应推广.这些推广反映了Rn中正定分布的结构与Busemann-Petty的分析推广之间的内在联系.


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