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无网格方法的误差估计和收敛性研究

程荣军  
【摘要】: 无网格方法是目前科学和工程计算方法的研究热点之一,也是科学和工程计算发展的趋势。无网格方法作为新近发展的一类数值方法,相关的数学理论的研究甚少。没有完善的数学理论支持,无网格方法的发展和应用将会受到一定程度的制约。有限元法之所以得到巨大发展,是由于其具有坚实的数学理论基础。尽管有限元法的一些理论适用于无网格方法,但是仍然需要更多适合无网格方法本身的理论基础和数学证明,如收敛性、稳定性、误差估计等。 本文对一些无网格方法的误差估计和收敛性进行了研究,主要内容包括以下几个方面: 移动最小二乘法是无单元Galerkin方法的形函数的构造方法,本文研究了移动最小二乘法在Sobolev空间W~(k,p)(Ω)中的误差估计。在高维情形下,当节点和形函数满足一定条件时,证明了移动最小二乘法的近似函数及其相应的高阶导数具有最优阶的误差估计。 无单元Galerkin方法是目前应用和研究最为广泛的无网格方法。本文基于上述移动最小二乘法在Sobolev空间W~(k,p)(Ω)中的误差估计理论,给出了势问题的无单元Galerkin方法的误差估计公式。从误差分析的过程中可以看出,数值解的误差与权函数的影响半径密切相关。 基于移动最小二乘法在Sobolev空间W~(k,p)(Ω)中的误差估计,本文研究了弹性力学问题的无单元Galerkin方法的误差估计公式,讨论了数值解的误差与权函数的影响半径的关系。 抛物型偏微分方程是描述热传导、渗流、扩散等过程的一类重要的数学物理方程。目前求解抛物型偏微分方程的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。本文研究了线性和非线性热传导问题的无单元Galerkin方法的半离散和全离散逼近格式,然后对真解和无单元Galerkin方法逼近解之间的半离散和全离散误差进行了研究,推导了相应的误差估计公式。从误差分析的过程中可以看出,热传导问题的半离散解的误差与影响半径r有关,全离散解的误差估计不仅和影响半径r有关,而且与离散时间变量t的步长△t密切相关。 基于移动最小二乘法的误差公式,本文讨论了有限点法的误差估计。从误差分析的过程中可以看出,有限点法的误差与权函数的影响半径和系数矩阵的条件数密切相关。 反问题一直是科学研究中难以解决的重要问题,在航天、核物理、冶金等领域有着广泛的应用背景。目前求解热传导反问题一般都是利用有限差分法、有限元法等。本文利用无网格有限点法求带有源参数的一维和二维热传导反问题,推导了相应的离散方程。与其它基于网格的方法相比,有限点法采用移动最小二乘法构造形函数,只需要节点信息,不需要划分网格,用配点法离散求解方程,可以直接施加边界条件,不需要在区域内部求积分,减小了计算量。用有限点法求解热传导反问题具有数值实现简单、计算量小、可以任意布置节点等优点。 为了说明本文所得定理结论的正确性,本文编制了相应的MATLAB计算程序,并进行了数值算例分析。算例说明了本文所得定理和结论的正确性。 本文的研究工作为无单元Galerkin方法和有限点法建立了误差分析理论,为无网格方法的进一步研究和发展提供了一定的数学理论。


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