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求解非线性不适定问题的几种双参数Newton型正则化方法

孟泽红  
【摘要】: 本文主要研究非线性反问题和不适定问题的求解。许多实际应用领域常归结为非线性反问题的求解,比如说参数识别问题,反散射问题,逆Sturm-Liouville问题以及非线性第一类Fredholm方程的求解问题等。目前,关于线性反问题和不适定问题的理论工作已经相对比较完善,在实际应用中也取得良好效果,而非线性反问题和不适定问题的理论和实践都还有许多需要完善的地方,而且非线性不适定问题的理论工作开展的少,相互借鉴的地方有限。非线性不适定问题研究的难点在于它的非线性性、不适定性、及无限维性。求解问题的关键是如何构造正则化算子,如何构造参数选取准则使方法成为收敛的正则化方法。 本文主要给出了几种带双参数的Newton-型正则化方法。我们首先给出了Newton-隐式迭代法,此时内层的正则化参数为内迭代步数,由Hanke准则来确定。接着,给出了一种带双正则化参数的Newton型方法,双正则化参数由修正Hanke准则确定,并证明了带双参数算法的收敛性和稳定性。上述的Newton-隐式迭代法可以看作这种带双正则化参数Newton型方法的一种特殊情况。数值例子显示了算法的有效性。但由Hanke准则确定正则化参数的方法还不能证明迭代解的收敛速率。 其次,把Tikhonov正则化方法应用到该线性化方程,然后利用Samanskii思想把一步Newton迭代与多步简化Newton迭代相结合,便得到了求解非线性不适定问题的带双参数渐近简化牛顿方法,此时两个参数比值由Bakushinskii准则来确定。在外迭代,我们首先采用了先验选取准则确定迭代次数,分析了近似解的收敛性,在适当的源条件等假设下,得到了近似解的按阶最优收敛速率。 再次,在没有先验的光滑性信息情况下,为了获得最优收敛速率,利用先验选取准则则变得不再实用,而利用不仅依赖于误差界δ而且依赖于扰动数据y~δ的后验停止准则是必要的。接着我们就引进了Kaltenbacher型后验停止准则和Lepskij型后验停止准则,在Kaltenbacher型后验终止准则中,只能给出ν∈(0,1/2]时的最优收敛速率,在此终止准则条件下,为了获得ν>1/2时的收敛速率,必须对非线性算子的非线性性假设加强,而这个加强的条件在实际问题中几乎不能验证。为克服此困难,引入了Lepskij型后验停止准则,给出了ν∈(0,1/2]∪(?)时的最优速率证明。 最后,值得一提的是,由于非线性不适定问题求解的难点之一是内层正则化参数的选取,针对此问题,在最后一章我们提出了一种新的内层正则化参数的选取准则,它能更好地拟合线性化方程右端项的误差水平。这个新的准则结合在内层采用隐式迭代法,由此得到的新方法与Tikhonov方法和Bakushinskii方法进行了比较,结果显示了该方法的优越性。最后我们分别对内层的线性化方程采用隐式迭代法或Tikhonov方法,把这个新准则与Hanke准则和Bakushinskii准则进行了数值比较,这个准则的优越性再次突现出来。


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