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Jacobi矩阵特征值反问题及其它反问题

吴笑千  
【摘要】: 本论文主要讨论的是Jacobi矩阵的特征值反问题.主要内容分成六部分. 第一部分介绍了矩阵特征值反问题的分类、重要性和应用,以及几个经典的Jacobi矩阵特征值反问题的研究历史和方法. 第二部分介绍了求解Jacobi矩阵反问题的基础:三对角矩阵和Jacobi矩阵,正交多项式,高斯积分方法的性质和(k)Jacobi矩阵特征值反问题. 第三部分给出了新的关于“固定-固定”和“固定-自由”弹簧质点系统的反问题解法.由于用弹簧伸长的改变量为未知量列出方程组,比用质点离开平衡位置的位移为未知量得到的方程组要简单,因此更容易计算.另外,证明了这两种列法的相互联系和等价性. 第四部分是本论文的主要部分.首先介绍了双倍维Jacobi矩阵特征值反问题的研究历史和进展.然后提出了三种求解双倍维Jacobi矩阵特征值反问题的算法.这三种算法都可以避免重构Jacobi矩阵的n阶首主子阵,并且后两种算法更稳定,数值精度可以与Boley和Golub的算法媲美.第一种方法是基于(k) Jacobi矩阵特征值反问题的解法,牛顿插值和二分法;第二种也是基于(k)Jacobi矩阵特征值反问题的解法.Boley和Golub的算法是用高斯求积公式,而本人另辟蹊径,推出了关于Jacobi矩阵单位特征向量组成的正交阵的一种分解形式,并找到此正交阵第一行和其它行的直接联系,由此避免了通过求特征多项式计算尾主子阵的特征值,得到了新的稳定解法.利用这一思想和分治法,本人又提出了另一新的稳定解法是基于前一种方法和分治法的.数值例子的结果也很好. 第五部分介绍Laplace方程的一类反问题.给出从Laplace方程的解的内点值求边界函数的方法.可以用四个在边界上为分段线性函数的解的线性组合来逼近要求的边界函数.在边界函数为边界线性函数时,这种线性组合和边界函数正好相同.当边界函数近似于边界线性函数时,这种线性组合和边界函数也很近似.并求出近似解和精确解的接近程度. 第六部分本人提出了新的实际生活中以及音乐、物理、生物、化学、社会学、心理学等等的反问题,以抛砖引玉,吸引更多的数学、物理、工程、生物、心理学、音乐,社会学等专家学者们一起解决发生在我们身边,对生活、生产和社会发展有积极作用的反问题,并开拓出有中国特色,不依赖于外国人的新研究领域.


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