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若干发展方程的谱方法和谱元法

赵廷刚  
【摘要】: 谱方法是求解偏微分方程的重要数值方法。它的主要优点是高精度,这使得该方法能够与有限差分、有限元一起而成为偏微分方程的三大数值方法之一。它的缺点是不能灵活地适应复杂的计算区域,从而阻碍了它的广泛应用和发展。解决的办法之一就是将问题所在的区域分解成若干子区域,在每个子区域上使用谱方法。这种技巧通常叫做谱元法。 当针对具体的问题建立了谱(元)方法的数值格式以后,格式的误差分析就非常重要。关于谱方法和谱元法的误差分析已经有大量的工作,但丰满的最优的收敛阶估计并不很多,尤其对于非线性问题,好的结果更少。本文就致力于若干个发展方程的谱(元)方法,讨论其误差分析,即格式的数值稳定性和收敛性(收敛阶)。特别关注的是非线性问题以及收敛阶的最优估计。 本文的主要工作为: 首先对五阶KdV方程建立了Legendre-Petrov-Galerkin谱方法,该方法是三阶KdV方程建立的Legendre-Petrov-Galerkin谱方法的自然推广。我们证明了该格式的数值稳定性以及收敛性。结论表明,收敛阶是最优的。 其次,讨论了一维情形的对流-扩散方程的谱元法。证明了该方法的收敛性与稳定性。并给出了收敛阶的很好的估计。另外,由于谱元法中区域的分解,算法的并行化显得更为重要。我们根据算法的特点,描述了数值实验中并行化的过程。数值例子也验证了方法的有效性。 再次,对于二维的线性Schr(?)dinger方程,空间上采用谱元法,时间上采用Crank-Nicolson离散得到的全离散格式,证明了格式在L~2以及H~1意义下的稳定性和收敛性。得到了最优的收敛阶估计。为了计算上的简化,利用算子分裂,将交替方向方法应用于格式设计,并证明了交替方向的谱元方法在L~2以及H~1意义下的稳定性和收敛性。同样得到的收敛阶也是最优的。该工作目前尚未见文献发表。 接着,对一类非经典非线性抛物型方程建立了Legendre谱方法的Galerkin离散格式,推导了格式的稳定性,得到了收敛阶估计。同时也给出了Chebyshev拟谱格式和Chebyshev-Legendre拟谱格式,进行了数值实验。在这类方程数值求解的研究中,我们尝试应用谱方法。理论结果和数值实验表明,这种应用是很成功的。 最后,对于无界区域上的Burgers方程,给出了一种稳定化的Hermite谱方法。该方法首次直接使用Hermite多项式作为基函数来逼近问题的解,解决了格式的数值稳定性问题,并得到了格式最优的收敛阶估计,数值结果验证了理论的正确性。接着讨论了拟谱方法以及混合的Hermite谱方法。 在整个误差分析中我们使用的是传统的能量估计方法。对于非线性问题,稳定性是指郭本瑜提出的广义稳定性。


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