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约束全局最优化增广Lagrangian方法及凸化方法研究

罗和治  
【摘要】: 约束全局最优化研究求解如下问题:给定紧集S(?)R~n和连续函数f∶S→R,寻找x~*∈S使得f(x~*)≤f(x),x∈S,这里S或f可能是非凸的.由于问题的非凸性,往往存在多个局部最优解,传统的非线性规划方法不能保证找到全局最优解.约束全局最优化问题广泛应用于工程、经济、金融、国防和管理科学等许多重要领域,是现代最优化理论和方法研究中重要而富有挑战性的课题. 本文研究约束全局最优化问题的增广Lagrangian方法及凸化方法.我们给出了若干基于增广Lagrangian函数的新的原始-对偶方法,发展和统一了文献中的增广Lagrangian对偶和收敛性理论结果,给出了新的非光滑凸化定理.这些结果为增广Lagrangian方法及凸化方法应用于约束全局最优化算法计算提供了理论基础.以下是本文的主要工作: (1)我们研究了几类增广Lagrangian函数的鞍点性质.首先,我们在强二阶充分性条件下,不需假设严格互补性条件,证明了五类增广Lagrangian函数的局部鞍点存在性.其次,在X为紧集及全局解唯一的条件下,证明了五类增广Lagrangian函数的局部鞍点也是全局鞍点,进而在没有假设原问题全局解为唯一的条件下,证明了全局鞍点的存在性.最后,我们将这些结果进一步推广到一个更为一般的增广Lagrangian函数,它包含五种已被广泛应用的增广Lagrangian函数. (2)我们重点研究了基于十类增广Lagrangian函数的原始-对偶方法及其收敛到全局解的性质.我们证明了在标准的条件下,增广Lagrangian方法产生的序列的任一极限点是原问题的全局解.为克服乘子序列有界的限制条件,我们通过修改原始-对偶方法迭代过程或修改增广Lagrangian函数,在较弱的假设下证明了收敛到全局解的结果. (3)我们进一步研究了基于五类增广Lagrangian函数的原始-对偶方法的收敛到KKT点的性质.我们在增广Lagrangian松弛问题满足一定的近似条件下,没有乘子序列有界性假设条件,证明了增广Lagrangian方法的全局收敛性,即对任取初始乘子,增广Lagrangian方法产生的序列的任一极限点是原问题的KKT点. (4)我们给出了Di Pillo-Grippo的三类增广Lagrangian函数的全局精确罚性质.证明了在二阶充分性条件下,假设原问题最优解为唯一,则原问题的全局最优解也是精确增广Lagrangian函数的全局最优解.其次,给出了一个精确增广Lagrangian方法,证明了在一般的条件下,该方法产生的序列的任一极限点是原问题的全局解.进而利用这些收敛性结果,在不假设原问题最优解为唯一的条件下证明了这三类增广Lagrangian函数的全局精确罚性质. (5)我们研究了一类特殊的约束全局优化问题--非光滑单调优化问题的凸化方法.证明了经过适当的变量变换,半光滑单调函数可变换为凸函数.这个结果本质上推广了可微函数的凸化理论,为非光滑单调优化的凸化方法提供了理论依据.我们还利用这个凸化结果,用摄动分析方法研究了约束全局最优化问题的全局鞍点理论.


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