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若干离散可积系统的对称与反向AKNS方程的精确解

季杰  
【摘要】: 本文研究的主要内容包括:与拟差分算子相联系的等谱方程族的对称与Lie代数结构;等谱微分-差分KP方程Casoratian解的条件与对称;利用Hirota方法来构造二阶反向等谱AKNS方程的孤子解及反向非等谱AKNS方程的孤子解;构造新的高阶方阵谱问题,得到AKNS方程新的可积分解;Geng方程相应的对称约束、可积分解与守恒律被给出。 在第二章中,首先给出与一般的拟差分算子相应的等谱与非等谱发展方程族及其显式表达公式,并且给出等谱方程族的两套对称及相应的Lie代数结构。其次,通过约化得到等谱Gel'fand-Dickey方程族及其K-对称。 第三章首先对等谱微分-差分KP方程的Casoratian解及其相应的Casoratian条件进行讨论,得到了更广泛的Casoratian条件,并证明了某些条件的推广并不能引出新解。有趣的是,我们建立了微分-差分KP方程的Casoratian条件与该方程的一种不变性之间的联系,由此引出微分-差分KP方程的一个对称,并进一步获得一个3-维封闭的Lie代数。 第四章主要研究了一个二阶反向等谱AKNS方程的孤子解及二阶反向非等谱AKNS方程的孤子解。首先导出二阶反向等谱AKNS方程,然后得到其双线性形式,并用Hirota方法得到该方程的二孤子解与三孤子解,通过对二孤子解的渐进分析,发现该二孤子互相作用后不仅有通常意义下的相位差,而且孤子的振幅也有变化。另外,还导出二阶反向非等谱AKNS方程,并且给出其三孤子解。 第五章给出了从一个2×2方阵谱问题构造出高维谱问题的方法,并以AKNS方阵谱问题为例说明,得到AKNS方程相应新的可积分解;其次通过规范变换得到Geng方程的对称约束、约束相应的三个可积分解、无穷守恒律。


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