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约束力学系统积分理论若干问题的研究

刘荣万  
【摘要】: 本文围绕约束力学系统的积分理论这一主题,较系统地研究了相对运动动力学系统的代数结构和经典积分理论、约束动力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题、动力学系统的离散变分原理、离散Noether对称性和第一积分、离散Lie对称性等三个方面问题。 第一章,绪论:简要介绍约束动力学系统积分理论有关研究的进展,包括非Noether守恒量理论、约束力学系统相对运动动力学及其积分理论、以及离散力学系统对称性与守恒量理论的研究历史与现状。 第二章,介绍变换Lie群和无限小变换的概念,重点介绍了单参数变换Lie群、点变换与扩展变换,给出本文的数学基础。 第三章,通过引入了惯性力的广义势的概念,建立了相对运动动力学系统的第二类Lagrange方程、广义Hamilton正则方程和运动方程的其他形式,给出了相对运动动力学系统的能量积分方法和机械能守恒定律;建立了一阶非线性非完整系统相对运动新型的Routh方程,给出了一般非完整非保守相对运动动力学方程及其逆变代数形式,并研究其代数结构,指出该系统不仅有相容代数结构而且有Lie容许代数结构,从而可以将积分完整保守动力系统的Poisson积分方法部分地应用于非完整非保守相对运动动力学系统。 第四章,首次提出动力学系统Lie对称性逆问题命题,并且给出Lagrange系统Lie对称性逆问题的一个解法,并进一步研究了准坐标下非完整力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题的解法;首次在相空间研究约束力学系统的Lie对称性与守恒量,给出了正则形式的Lie对称性质;将研究动力学系统的Lie对称性理论推广至连续介质情形,给出经典场的Lie对称性理论;最后研究了约束哈密顿系统的Lie对称性与守恒量,把系统由于奇异性而存在的限制方程看作是约束方程,建立了正则形式的动力学方程,并讨论其对称性质。 第五章,约束力学系统的离散对称性理论:对约束动力学系统分别给出其离散变分原理及离散运动方程,并且进一步研究了约束动力学系统的离散Noether对称性和离散第一积分;首次研究了非保守系统离散Lie对称性,将离散对称性理论的研究引向深入。 第六章,总结与展望:总结本文所得到的主要结果以及未来研究的一些设想。


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