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求解不适定问题的非线性隐式迭代法和正则化GMRES方法

柳建军  
【摘要】: 本文主要研究非线性反问题和不适定问题的求解.目前,关于线性反问题和不适定问题的理论工作已经相对完善,在实际应用中也取得良好效果,而非线性反问题和不适定问题的理论和实践都还有许多需要完善的地方.应该说,现实中大部分数学物理问题都是用非线性模型来描述的,比如说参数识别问题,反散射问题,逆Sturm-Liouville问题以及第一类非线性Fredholm方程的求解问题等.因此,探讨非线性反问题的理论及有效的数值解法具有重要的理论和现实意义. 许多处理线性不适定问题的方法和技巧都成功的应用到非线性领域,本文将处理线性不适定算子方程的线性隐式迭代法推广到非线性不适定问题,从理论分析、具体实现和数值试验等方面详细讨论了非线性隐式迭代法,同样得到很好的效果.本文的主要工作为: 首先,提出非线性隐式迭代法.由于Tikhonov泛函的强制性,其极小点总存在且有界,重点证明出迭代解误差序列的单调性,利用迭代误差的单调性得出非线性隐式迭代法对精确方程和扰动方程的收敛性. 其次,非线性隐式迭代法具体实现的主要工作是如何极小化每步Tikhonov泛函.当正则化参数固定时,极小化Tikhonov泛函是一个适定的优化问题.原则上,任何非线性最优化方法都可以应用到非线性隐式迭代法的具体实现中来.但是,由于一些方法的局部收敛性和Tikhonov泛函的非严格凸性,不一定收敛到Tikhonov泛函的全局极小点.本文应用最速下降法和修正的可接受点Gauss-Newton方法具体实现了隐式迭代法,提出两个算法:IIGRA和IIMGN.从理论上证明了只需对迭代初值加上某些简单限制,两步极小化都可以自然连接,而无须中间改变每步迭代初值就能保证收敛性.同时,未加证明的给出结合非线性共轭梯度法的非线性隐式迭代法IINCG.丰富的数值试验表明三个算法是有效的. 再次,给出非线性隐式迭代法的一种变形——替代泛函方法.一方面,此方法双参数(C_n和n)同时变化,带有非定常的味道;另一方面,它通过压缩映射快速实现极小化Tikhonov替代泛函,实际计算格式简单,速度较快,效果也很好. 最后,在线性不适定问题研究方面,提出一类双层正则化GMRES(m)算法作为简单GMRES方法的改进,增强了它的正则化效果,数值试验计算结果突出.内外两层正则化的效果好比两条腿走路,更快更稳的到达目的地.对一类典型的不适定问题——图像恢复问题,提出一种配以改进L-曲线准则的图像恢复正则化混合GMRES(m)算法,通过对二值图像和灰度图像的数值试验,同样得到了很好的恢复效果。


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