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非线性可积系统及其相关问题

尤福财  
【摘要】: 本文的主要内容包括: 1.从一个3×3矩阵谱问题出发,推导出广义MKdV方程族,构造此方程族Hamilton结构,证明在Liouville意义下是可积的.通过对称约束得到有限维Hamilton系统。通过Lie代数半直和构造可积耦合系统,利用变分恒等式得到可积耦合系统的Hamilton结构。由拟微分算子技术构造非等谱非交换的KP方程族。 2.首次给出两类变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解,包括变系数KdV方程,势KdV方程,Boussinesq方程,Camassa-Holm方程等。把(2+1)维广义KP,cKP,mKP方程分解为(1+1)维可积方程,研究2阶复AKNS方程和3阶复AKNS方程的相容解与广义(2+1)维KP,cKP,mKP方程的解之间的关系,并利用Darboux变换得到它们的孤子解,进而将解表示为双Wronskian行列式形式。 3.分别利用Hirota方法与Wronskian技术给出五阶KdV方程及其约束方程的精确解,并证明两种解的一致性.将双Wronskian元素满足的条件推广到矩阵情形,导出等谱Levi方程广义双Wronskian行列式解,其中包括孤子解、有理解、Matveev解、complexiton解及混合解。给出非等谱Levi方程的双Wronskian行列式解。研究等谱与非等谱Levi方程孤子解的动力学行为包括单孤子的特征以及双孤子的散射。


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