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分数阶微分方程的稳定性分析及其规范形计算

钱德亮  
【摘要】: 分数阶微积分(分数阶微分和分数阶积分)经过三个多世纪的发展,已经受到越来越多的应用科学家及工程技术人员的重视.虽然在早期,人们对于它的认识还比较模糊,但是到二十世纪七十年代后却得到广泛关注,其应用领域也越来越多,如在软物质、控制工程、反常扩散、流变学等方面的应用. 本文的主要工作包括三部分内容:第一部分包括第一章和第二章,这一部分讨论分数阶微积分性质,以及对分数阶微分方程比较定理给予深入的研究.第二部分包含第三、四、五章,主要讨论分数阶微分系统的稳定性,包括基于Caputo导数与基于Riemann-Liouville导数的Miller-Ross型序列导数的微分系统;Riemann-Liouville型分数阶线性微分系统、分数阶摄动微分系统.本文的第三部分主要讨论有关分数阶微分系统的基本分岔问题,包括跨临界分岔、折叠分岔及音叉分岔. 具体的说,第一章主要给出有关分数阶微积分的定义与主要的基本性质. 第二章主要讨论分数阶微分方程的比较定理.本章根据分数阶微分的定义与性质讨论分数阶微分方程与相应的Volterra积分方程的等价性,并且介绍分数阶微分系统解的存在性与唯一性的一些主要结果;然后,在这些等价性定理的基础上,证明分数阶微分方程的比较定理. 第三章,我们研究Riemann-Liouville型分数阶微分系统的稳定性.在有关系统解析解的基础上,分别讨论齐次系统与摄动系统零解的稳定性.本章还分别讨论有关Jacobian矩阵特征值的不同情况,包含临界特征值|arg(λ)|=απ/2,以及零特征值的情况. 第四章讨论了基于Riemann-Liouville导数的Miller-Ross型序列导数的分数阶微分系统的稳定性.根据有关的Laplace变换,求出分数阶微分系统的解,并分别研究解的稳定性,其中包含齐次系统与非齐次系统两种情况. 第五章讨论基于Caputo导数的Miller-Ross型序列导数的分数阶微分系统的稳定性.根据基于Caputo导数的Miller-Ross序列导数的Laplace变换,求出分数阶微分系统的解,并分别讨论齐次系统与非齐次系统解的稳定性. 最后一章,我们讨论带Caputo型导数的分数阶系统的基本分岔,即跨临界分岔、折叠分岔及音叉分岔.首先,通过分析得到基本分岔的相图.并根据Taylor展式与隐函数定理等定理,研究了分数阶微分系统的规范形,从而求出跨临界分岔、折叠分岔及音叉分岔等这些基本分岔的拓扑规范形.


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