从时序中计算高阶Lyapunov指数及其在研究脑电高维混沌中的应用

【摘要】：混沌是非线性确定性系统产生的貌似随机的不规则运动，普遍存在于自然界、经济和人类社会中，特别是在非线性的生物系统中更是无所不在。近年来，随着研究的深入，发现许多混沌系统尤其是生命系统，都表现出高维混沌特性，高维混沌成为目前混沌学研究的难点和热点。目前，对高维混沌的研究方法之一是降维，对降维后的系统用低维混沌的理论和方法来解决原高维混沌系统的问题。但降维方法丢失了高维混沌的部分信息，存在着一定的局限性。 本论文的研究目的之一是提出并实施应用高阶Lyapunov指数对高维混沌进行研究，给出了从一个时间序列中估算前3阶Lyapunov指数λ_1、λ_2和λ_3的数值算法和程序，并通过在4×3 Lorenz和HyperRossler超混沌系统两个高维混沌模型系统中的仿真验证，证实算法的可行性和有效性。本文的第二个研究目的是应用λ_1、λ_2和λ_3研究癫痫脑电并不是都源自高维混沌。 Lyapunov指数反映了相空间中在各方向上吸引子相邻两条轨道随着时间的推移按指数分离或聚合的平均变化率。知道了系统的Lyapunov指数谱，就掌握了吸引子在相空间中各方向上轨道的发散和收敛特性。另一方面，应用Y-K公式可以从Lyapunov指数谱求出该混沌系统的维数。理论上从一维时间序列可以数值求解对应混沌系统的全部Lyapunov指数，在本文中研究了从一个一维时间序列通过重构相空间估算其前3阶最大的Lyapunov指数λ_1、λ_2和λ_3的算法和程序。将λ_1、λ_2和λ_3从时间序列中估算的方法应用于7例癫痫患者病灶处的典型癫痫脑电，并以相应的正常脑电作为对照，对癫痫脑电和正常对照组脑电分别估算了它们的λ_1、λ_2和λ_3，用Y-K公式判断了其相应的混沌维数的范围。 研究结果表明：(1)用高维4×3 Lorenz混沌系统和HyperR(?)ssler超混沌系统作为高维混沌的模型，应用本文的算法和程序估算了以上吸引子的λ_1、λ_2 大津医科大学硕士研究生学位论文中文摘要 和入3，与从方程中直接计算出的相应入值的误差在5%以内，证实了本文从一 维时间序列中估算前3阶Lyapunov指数算法和程序的可行性和有效性。(2) 估算出不同类型癫痈脑电的入l、从和杨，进而应用Y一K公式分析各类型的维 数范围，癫痈脑电至少有2到3个正的Ly叩unov指数，对应维数应在3到4 以上，可分成三类:①入1、入2和入:中肠为零，对应吸引子维数在4以下，仍 属于低维混沌系统;②入l、入:和肠均大于零，但数值较小，属于高维和低维之 间的过渡系统;③又，、入:和入:均为大的正数，属于高维混沌系统。(3)正常脑 电前3阶Lyapunov指数均为较癫病脑电对应值大的正数，维数高于癫痈脑电， 属于高维混沌。 进一步研究的方向是从时序中数值估算高维混沌的全部Lyapimov指数， 并应用Y一K公式推算出任一高维混沌系统的分数维数值，以期对癫痈脑电的 混沌维数给出完整的分析结果。