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奇异积分交换子的有界性

马丽敏  
【摘要】:由于奇异积分算子及其交换子是调和分析的重要算子,它们不仅在调和分析理论中具有重要的地位,而且在偏微分方程等学科中有着极其重要的应用,因此我们选择这类算子及其交换子作为研究对象,本文致力于这类算子及其交换子有界性及加权有界性的讨论。全文共分四章,第二章至第四章是论文的主要内容。 第一章是引言。 在第二章中,我们讨论广义Calder(?)n-Zygmund算子交换子在Hardy型空间上的有界性,得到两部分结果:第一部分利用以前不常用的Minkowski积分不等式、Jensen不等式等,来进行某些不等式的缩放,研究了广义Calder(?)n-Zygmund算子和Lipschitz函数生成的交换子的特征,得到了θ(t)型Calder(?)n-Zygmund算子和Lipschitz函数生成的交换子在经典Hardy空间和Herz型Hardy空间上的有界性;第二部分证明了在临界点情形该交换于是从Hardy空间到弱Lebesgue空间以及Herz型Hardy空间到弱Herz空间有界的。这两个问题提出的背景是这样的:Yabuta和彭立中分别在[27]和[20]中引进了θ(t)型Calder(?)n-Zygmund算子,关于这类算子的讨论可详见文献[27],[20],[28],[29],[30]等。对于交换子的研究,2002年,陆善镇,吴强,杨大春在文献[15]中讨论了标准的Calder(?)n-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子在Hardy型空间上的有界性,本章主要是受文献[15]中结果的启发,并得到了如下结果: 定理2.1设b∈Lip_β(R~n)(0<β≤1).若n/(n+β)<p≤1,且1/q=1/p-β/n,满足integral from 0 to 1(θ(t)/(t~1+β)dt)<+∞,则[b,T]是从H~p(R~n)到L~q(R~n)有界的。 定理2.2设b∈Lip_β(R~n)(0<β≤1),且integral from 0 to 1(θ(t)/(t~1+β)dt)<+∞,则[b,T]是从H~(n/(n+β))(R~n)到弱L~1(R~n)有界的。 定理2.3 设b∈Lip_β(R~n)(0<β≤1).若0<p<+∞,1<q1,q2<+∞,1/q2=1/q1-β/n,n(1-1/q1)≤α<n(1-1/q1)+β,且满足integral from 0 to 1(θ(t)/(t~1+β)dt)<∞,则[b,T]是从HK_q1~(α,p)(R~n)到K_(q2)~(α,p)(R~n)有界的。 定理2.4设b∈Lip_β(R~n)(0<β≤1)。若0<p≤1,1<q1,q2<+∞,1/q2=1/q1-β/n,且满足integral from 0 to 1(θ(t)/(t~1+β)dt)<∞,则[b,T]是从HK_(q1)~(n(1-1/q1)+β,p)(R~n)到WK_(q2)~(n(1-1/q1)+β,P)(R~n)有界的。 第三章中,我们讨论了强奇异积分算子T_b与BMO函数g生成的交换子[g,T_b]的情形。1998年,李晓春、陆善镇在文献[13]中讨论了加权Herz型Hardy空间上的强奇异积分算子,本章中我们把文献[13]中的结论推广到强奇异积分算子T_b与BMO函数g生成的交换子[g,T_b],并证明了当α=n(1-1/q)时,[g,T_b]是从齐次加权Herz型Hardy空间HK_(a,b)~(α,p,O)(ω_1,ω_2)到齐次加权Herz空间K_q~(α,p)(ω_1,ω_2)上的有界算子。得到的结论如下: 11摘要 定理3.1令。p三1。co,a=。(l一i/。),。〔BMo扭”),且。1,吻〔注;,那么 11[。,几]f 11盆:,·(。:,。2)三Cl}fll。片::,0(。:,。2) 这里C是与f无关的常数. 第四章中,我们给出了e(t)型Calder6n-zygmund算子和BMo函数生成的交换子在 Herz型Hardy空间上的有界性及其加权有界性.2001年,刘宗光在文献[l’]中讨论了 协,刘在Herz型Hardy空间上的有界性.本章受文献[l习的启发,得到如下结论: 定理魂.1设。〔BMo恤”),opco,i。co,对于‘〔(o,i]有。(1一i/,)三a ·(卜‘/。卜一且丈‘黑*+一则【“,T】是从H心:,。(R·)到心,·(:·)有界的· 定理4.2设‘。BMo扭”),opco,iqco,对于£c(o,1]有n(l一l/。)三a ·(卜1/。卜一且关‘黑*+co,。1,吻。Al,则,,:是从H心岁,。、1,。2)到心,·、1,吻) 有界的. 定理4.3设比BMo伍”),opi,iqco,对于。〔(o,1]有a=。(1一1/。)+。,且 关’黑“+?,则l,T,是从H心尸(Rn)到w心,·(R·,有界的·


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