超细长弹性圆截面杆模型的Noether对称性、Lie对称性及其守恒量

【摘要】： 超细长弹性细杆模型有着广泛的实际背景,如电缆、绳索、纤维等都可以模型化为弹性细杆讨论并已有大量的研究成果。另外,自20世纪中期Watson和Crick提出了DNA分子的双螺旋三维结构模型以来,关于DNA的基础理论研究不断突破,促进了以基因工程为代表的生物技术的迅速发展,经典力学的基本原理和方法在DNA的力学模型的研究中得到充分的应用。 DNA等大分子的结构特点是直径远远小于其长度,因此其结构完全不同于经典的细杆模型,我们称之为超细长弹性杆。超细长弹性杆的一类重要的模型是基于Kirchhoff的动力学比拟方法建立的。即把弹性杆的截面中心曲线的弧长比拟成刚体动力学中的时间变量建立非线性常微分方程组。基于动力学比拟方法建立的弹性杆结构力学模型具有动力学模型的类似结构,因此具有动力系统的一些重要的性质如Noether对称性和Lie对称性等,这使得我们可以利用相关的数学方法对其进行研究并讨论其守恒量。 本文利用Kirchhoff比拟方法将一维空间变量即弧坐标s比拟成动力学中的时间变量t,从分析力学的基本概念出发,建立并分析了相应的圆截面杆的Hamilton方程,给出了Noether无穷小变换定义、Lie对称性条件以及相应的拟广义Killing方程,讨论了Noether对称性、Lie对称性意义下的相应守恒量问题,并给出了几个具体的守恒量。