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Sturm-Liouville算子及AKNS算子的逆问题

艾树利  
【摘要】: 微分算子理论主要研究如下两个方面:特征值和特征函数以及将任意函数按特征值、特征函数展开成级数(或积分);基于一定的谱数据寻求微分算子的存在唯一性以及重构。前者称为微分算子的谱分析,后者称为逆谱问题。微分算子理论在数学物理、力学等领域有着广泛应用。本文主要研究具有重要理论和应用价值的Sturm-Liouville算子和AKNS算子的逆特征值问题。 众所周知,Borg已经证明了两组完整的谱可以确定一个Sturm-Liouville算子或AKNS算子(即势函数和边值条件)。另一方面,有反例表明,当一组谱中缺失部分特征值时,势函数不能被唯一确定。此外,Hochstadt曾证明在已知一组谱和一组缺失有限个特征值的谱时,势函数可以通过方程的解确定。 本文对Sturm-Liouville问题的研究将应用Hochstadt的方法,考虑由三组谱确定势函数和边值条件的问题,即证明Sturm-Liouville问题的势函数可以由[0,1]区间上的一组整谱和[0,α]、[α,1](0α1)区间上的两组部分谱唯一确定。特别地,在这两个区间内,分别可以去掉任意一个特征值,势函数仍可以被唯一确定。 在上述问题研究的基础上,进-步研究定义在L2([0,1],C2)上的AKNS算子的逆问题。证明在[α,1](0α1)区间上的势函数已知的情况下,用两组部分谱可以确定[0,1]区间的势函数。


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