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(?)_2型和(?)_2型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数

王利萍  
【摘要】: 给定一个Coxeter系(W,S),其中S是W中单反射组成的集合。我们考虑W上的Bruhat序。对于其中任意两个有序关系的群元素y≤w,我们有一个Kazhdan-Lusztig多项式P_(y,w),它是一个关于变量q的整系数多项式。由文献[KL1]我们知道当yw时,多项式P_(y,w)的次数小于等于1/2(l(w)-l(y)-1);而P_(w,w)=1.其中l:W→N为W的长度函数。多项式P_(y,w)中的第1/2(l(w)-l(y)-1)次项的系数μ(y,w)称为P_(y,w)的首项系数。这些首项系数对于理解全部Kazhdan-Lusztig多项式起着非常关键的作用。同时,这些首项系数在表示理论和李理论中也有着很重要的地位,它们和某些上同调群及某些困难的特征标公式有着密切的联系。然而,一般情况下这些首项系数的计算是相当的困难复杂。 本文对(?)型和(?)型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数进行了研究,计算出了其中大部分多项式的首项系数。Lusztig引入了非常重要的a-函数的概念(见2.2节)。对于任意的元素对y≤w,当a(y)≤a(w)时,我们清楚地计算出了这两种仿射Weyl群的首项系数μ(y,w).而且,对于B_2型仿射Weyl群,我们还对那些满足a(y)=2且a(w)=1的y≤w清楚地计算出了μ(y,w);当a(y)=4且a(w)=1或者2时,情况较为复杂,我们给出了一些相关的结果。利用一部分这些首项系数,我们可以证明Lusztig于1987年提出的一个关于特异对合的猜想对B_2型仿射Weyl群是成立的。另外,我们还否定了[L3]中的一个猜想(详见注解5.2.5(2)).在本文的最后一节,我们还给出了一些非常有趣的公式。从这些公式可以看到Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数和代数群的表示以及基环的结构有着密切的关系。 为了研究仿射Weyl群的W-图的非局部有限性,Lusztig在他1996年的一篇论文中引入了和Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数μ(y,w)有关的一些半线性方程(见[L3])。本文中的计算将主要依赖于这些半线性方程以及第2.4节中介绍的Springer公式。


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