数值流形方法与动态裂纹扩展模拟

【摘要】：本文以数值流形方法为主线,以同有限元法相结合为首要宗旨,对在常见有限元网格上数值流形方法的实现开展了研究;同时,应用前述研究中取得的成果,分析了平面动态裂纹扩展问题,取得了较为满意的结果。 本中先介绍了几种数值分析方法之间的联系。不仅仅是传统的有限元方法,无网格方法、数值流形方法逼近函数空间的构造,皆可统一于单位分解法所述的,依据单位分解函数从局部逼近过渡到整体逼近的模式之中。 文中提出了覆盖函数选用建议。分析表明,数值流形方法中目前常采用的多项式系覆盖函数,依赖于整体坐标,这样,在采用一阶及以上覆盖函数时,会在刚度矩阵中引入绝对值巨大的量,从而影响到刚度矩阵性态,有损于计算精度。为此,建设采用局部化的覆盖函数基,据此推导了三角形单元网格上采用一阶覆盖函数、基于单纯形积分的刚度矩阵。该文将数值流形方法扩展于实用高效的有限元网格,引入拉格朗日乘子法处理边界条件。为了将它与有限元法有效结合,又鉴于有限元方法中常用的平面八结点单元和三维二十结点单元是常用而高效的单元,该文提出了将数值流形方法扩展到上述两种网格的计算方法,推导了采用拉格朗日乘子方法施加边界位移条件时的计算列式。讨论了线性相关性问题,提出了相应的解决方法。详细考察了基于上述两种有限单元网格时,数值流形方法的计算精度、效率,并与其它常用方法进行了对比,发现基于前述两种有限单元的数值流形方法,较其它常用方法具有更优的分析效能,是一种很有潜力的分析工具。 文中研究了能与有限元法吻合的动力计算方法。此计算方法基于Newmark 方法假定,具有四阶的截断误差,精度高;在满足一些条件时具有无条件稳定的优点,实施方便;这丰富了数值流形方法的动力计算方法。 最后,文中分析了平面动态裂纹扩展问题。利用单位分解原理,借用有限元法的形函数作为权函数,同时借用无网格方法中提出的可视准则,基于Shepard 公式,来构造不连续的单位分解函数。通过不连续的单位分解函数,来引入整体逼近的不连续性,据此来描述裂纹问题。利用前一章中所建立的动力计算方法,对非扩展性和扩展性动态断裂问题进行了分析。利用基于能量平衡原理的交互能量积分方法,计算动态应力强度因子,为改善计算精度与数值稳定性尝试了新的辅助函数。算例的数值解答与理论参考解吻合较好,表明这一方法是可行的。