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一维准周期系统的局域态和拓扑态

王玉成  
【摘要】:本论文主要研究一维准周期系统的局域态和拓扑态,主要包括:波矢很小时、加上p波配对时或者加上相互作用时的Aubry-Andr′e(AA)模型的局域性质,在外尔半金属的一个方向上加上准周期势所发生的相变(可以简化为一维模型来研究),以及引入边界关联函数来研究二聚的Kitaev模型的拓扑性质。在第一章中,我首先简单介绍一维的AA模型以及多体局域的相关知识,然后介绍一下拓扑物态的对称性和一些拓扑不变量,最后简单介绍三个个一维的拓扑模型,即Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型,Kitaev模型和包含准周期势的一维p波模型。在第二章中,我们研究波矢很小时和加上p波配对的AA模型。先前的研究表明,AA模型的本征态是扩展的还是局域的仅仅取决于它的准周期势强度V是大于还是小于一个临界值V_c,这个临界值的大小是跃迁强度的2倍,并且这个系统不存在迁移率边。但是,当波矢远小于1时,这个模型展现出不同的性质。通过分析这个系统的波函数的参与率的倒数IPR以及多分形的性质,我们发现即使VV_c,这个系统仍存在两个近似的迁移率边E_(c±)和E_(c.±)。它们把这个系统分成三个部分,满足条件|E_(c±)|≤|E|≤|E_c′_±|的区域的波函数是临界的,满足条件E_(c-)EE_(c+)的区域的波函数是扩展的,满足条件EE_c′_-和EE_c′_+的区域的波函数是局域的。当在AA模型上加上p波配对项时,这个模型可以用来研究拓扑超导相到安德森局域相的转变。实际上这个系统的相图包含三个区域:扩展区、临界区和局域区。我们分析了这三个区域的能谱统计,发现临界区的能级间距统计和带宽分布统计都满足倒指数率。我们还对这个系统进行了有限尺寸分析,得到了一些临界指数和这些临界指数所满足的标度律。最后,我们对这个模型进行了多分形分析。紧接着,在第三章,我们研究了在AA模型上加上相互作用的局域问题。通过数值计算归一的参与率和单粒子密度矩阵的自然轨道分布,我们揭示了这个模型存在三个不同的区域:热化区,多体局域区和中间区。通过用密度矩阵重整化群研究这个多体系统基态的单粒子激发的密度分布,我们给出热化区到中间区转变的转变点。通过计算能级统计和纠缠熵,我们给出中间区到多体局域区转变的转变点。在第四章,我们研究在三维外尔半金属的一个方向加上准周期势对这个外尔半金属产生的影响。因为另外两个方向的动量仍是好量子数,所以这个系统可以简化为一个一维模型来研究。通过计算IPR以及利用AA模型的性质,我们可以研究加上准周期势的方向的扩展到局域转变。然后,我们计算了这个系统的态密度,可以得到这个系统从半金属到金属转变的转变点。所以,随着准周期势强度的增大,这个外尔半金属先在加该外势的方向局域,最后变成一个二维的金属。在第五章,我们引入两个边界关联函数来标定无相互作用和有相互作用时的二聚的Kitaev模型的拓扑相。二聚的Kitaev模型包含三个相:拓扑超导相、SSH类似的拓扑相和平庸相。在周期边界条件下,我们可以通过计算拓扑数来得到这个系统的相图。在开边界条件下,我们解析推导两个边界关联函数,同样可以标定这个系统的相图,这种方法更直观并且可以给出关于边界马约拉纳费米子耦合的更多的信息。当加上相互作用时,在一些对称点上,我们仍然可以解析地得到引入的两个边界关联函数,标定这个相互作用的系统的拓扑相。


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