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Riesz平均、Fourier限制性估计及Klein-Gordon-Hartree方程低正则性

张军勇  
【摘要】:本论文致力于研究具有有限型凸曲面上的Riesz平均算子Lp有界性、Fourier限制性对偶估计及Klein-Gordon-Hartree方程在低正则空间中的整体适定性.众所周知,Bochner-Riesz猜想和Fourier限制性猜想都是调和分析中著名的公开问题,要解决这些猜想是相当困难和具有挑战性的,但针对某些特殊情形下来解决或者推广这类结果还是可能的.这些核心分析问题同偏微分方程的研究紧密联系,例如Fourier限制性定理蕴含着色散方程的Strichartz估计. 为了方便阅读和理解,在绪论章节里,我们扼要介绍一些调和分析的工具和方法,这些工具和思想与本文密切相关.例如:驻相分析方法、振荡积分估计以及消失性的开发利用.这些在本文克服困难和解决问题时起着关键作用. 第二章利用调和分析方法建立Klein-Gordon-Hartree方程在低正则空间中的整体适定性.基本思路是,利用Bourgain的Fourier截断方法,将初始值分解成低频和高频两部分.用原方程演化高频部分,由小解的整体存在理论得到这部分的整体解;用相差方程演化低频部分,再通过控制Hamiltonian量,将局部解延拓为整体解,从而最终得到原始Cauchy问题的整体解.如何将局部解延拓为整体解,我们遇到两个本质的困难.其一,我们所考虑的方程是次共形的,因而scaling所建议的Strichartz估计并不一定是最优的.其二,非线性项是非局部项(|x|-Υ*|φ|2)φ.卷积相当于负导数,且在一定程度上破坏了结构,阻碍我们利用精细的Strichartz估计.为了克服第一个困难,我们开发利用了Klein-Gordon方程相比于波方程在Strichartz估计容许对选取上更加灵活的特性,并选取合适的参数.对于第二个困难,我们构造了个交换子,充分利用消失性和Coifman-Meyer多线性乘子定理建立这个交换子的估计,来控制Hamiltonian量. 第三章主要研究有限型凸曲面所对应的Riesz平均算子的Lp估计Bochner-Riesz猜想是调和分析中著名的公开问题,而这章旨在将高斯曲率处处不为零的水平集∑上Riesz平均算子的Lp结果推广到满足凸有限型几何性质的∑上Riesz平均算子.这类算子估计的建立促进Boussinesq等色散方程的Strichartz估计的建立和适定性研究.本章首先介绍Bochner-Riesz猜想的研究背景并给出主要结论.其次证明主要定理.我们将主要定理的证明归结为证明一个振荡积分算子的Lp估计.这个振荡积分估计类似于Hormander考虑的振荡积分算子,参见文献[51]中的定理2.2.1.这部分归结过程的思想来源于[48,51].其次,利用TT*方法将这个振荡积分的证明归结为证明一个变系数的振荡积分估计.最后,我们利用驻相分析的方法,并结合[5]中的想法和凸有限型几何性质建立振荡积分的估计.在完成这个结果之后,我们发现[24]用另外一种方法得到了类似的结论. 第四章着力研究Fourier限制性问题Fourier限制性问题与上面提到的Bochner-Riesz猜想同样也是调和分析中著名的公开问题.它不仅与Bochner-Riesz猜想紧密联系,还同Kakeya猜想密切相关.要直接改进目前最好的结果或者证明这个猜想是很困难,很具有挑战性的.但是可以尝试着从其它的方面(例如在某种特殊情况下)来证明这个猜想.最近,Shao[54,55]在假设测试函数在空间方向是径向对称的条件下证明了锥面和抛物面所对应的限制性猜想.一个有趣的观察是:若假设测试函数是径向对称的,则相当于假设测试函数在角变量上具有任意好的正则性;换言之,径向对称函数的所有Lqθ(Sn-1)范数都是等价的.受这个观察的启发,我们试图利用Lqt(R;Lqrn-1drLqθ(Sn-1))(q≤q)范数来代替Lqt,x范数将关于空间的径向对称的假设条件去掉.如果我们能够证明(4.1.3)在q=q时也成立,那么我们就证明了Fourier限制性猜想,但不幸的是我们只能证明q≤2时(4.1.3)对锥面成立.本章包含了四个主要结论,其中前两个是关于锥面的,后两个是关于抛物面的.对于锥面的第一个结果,虽然我们去掉了测试函数关于空间方向径向对称的假设,但增加了测试函数对应的球调和展开至多为有限项的限制.因此,在这种情况下我们不需要分析Bessel函数关于其阶数的一致衰减估计.关于锥面的第二个结果是第一个结果更深的研究.在第二个结果中,我们通过结合eit|ξ|的振荡性并利用驻相分析方法重新分析Bessel函数渐进行为,将前面对测试函数有限的球调和展开的假设条件去掉.后面两个结果分别是关于抛物面的线性限制性对偶估计和双线性限制性对偶估计,都还需要球调和展开至多为有限项的假设条件.尽管如此,我们仍然还需要用到很多的调和分析技术(例如球调和分解,TT*方法以及Whitney分解)才得以实现.我们期望在将来的工作中将这个假设条件去掉.


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