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等离子体中非线性动力学方程组的相关数学理论研究

张景军  
【摘要】:在等离子体物理学中,Zakharov方程是描述Langmuir波和离子声波相互作用的一类非常重要的非线性动力学方程组,很多物理学家和数学家们对此类方程作了广泛且深入的研究,在理论研究和数值计算中都取得了许多具有重大影响的的成果.随着研究的深入,物理学家们不断地对Zakharov方程进行改进,提出了一些更加符合物理现象和实验结果的新的Zakharov型方程,其中包括广义Zakharov方程,磁场Zakharov方程以及简化双流体力学模型等重要的关于波与粒子相互作用的非线性动力学方程组.本论文主要是对这几类非线性动力学方程组从数学方面作一些相关的理论研究,所得的结果对这些方程的实际计算或其它方面的研究具有基础性的意义.本论文共分为五章. 第一章是绪论.主要是对本论文中将要研究的几类非线性动力学方程组在物理背景方面作个简要的介绍.该章同时也总体介绍了本论文所做的主要工作. 第二章研究的是广义Zakharov型方程光滑解的局部或整体存在性.应用能量方法,结合交换子估计,通过对正则化逼近问题作出一致的估计,最后证明广义Zakharov型方程的光滑解是局部存在唯一的,而且在二维情形下,小初值条件保证了该光滑解是整体存在的. 第三章研究的是一类磁场Zakharov方程的低正则性理论.该方程中的磁场项满足个耗散型方程,通过建立耗散型方程的线性估计,再应用原有的关于Zakharov方程的非线性估计方法,最后证明了在Bourgain空间框架正磁场Zakharov方程的适定性理论. 第四章研究的是另一类磁场Zakharov方程的极限行为.该方程带有两个参数α(离子声速)和β(电子速度).主要讨论了两类极限行为:一类是在α因定的情形下,令β趋于无穷;第二类就是考虑α和β都趋于无穷的情形.在第一种情形下,证明了磁场Zakharov方程的解在合适的Sobolev空间中收敛于广义Zakharov方程的解.在第二种情形下,证明了磁场Zakharov方程的解收敛于非线性Schrodinger方程的解.上面两种收敛性所在的函数空间与初值数据所属的空间是相同的,即没有导数损失.在证明第二种收敛关系时,需要引入修正能量用以抵消方程所产生的共振作用. 第五章研究的是简化双流体力学模型整体光滑解的存在性问题.利用能量方法,线性化方程的衰减估计以及带有奇性的双线性乘子的估计,证明了小初值条件下该方程的光滑解是整体存在的,而且在t→∞时,该解最终会收敛于所给的平衡态.


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