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一类非线性扩散方程的间断有限元方法研究

张荣培  
【摘要】:非线性扩散方程的求解是流体力学、传热学、生物学、化学和斑图动力学等领域的一个热门研究课题。由于非线性扩散问题的复杂性,大多数定解问题还是不能精确求解的,因此对于非线性扩散方程数值方法的研究就显得非常重要。 间断Galerkin(DG)有限元方法具有局部守恒,容易实现自适应和并行化的特点,因此在众多领域得到了广泛地应用。本文围绕间断Galerkin方法展开讨论,我们发展了新型的DG格式,给出相应的收敛性和稳定性分析,并应用DG方法对一类非线性扩散方程进行了研究。这些方程包括:Burgers类方程,N-载体系统,带有间断系数的扩散方程,非线性Schrodinger方程,反应扩散方程以及辐射扩散方程。 本文的主要工作有以下几点: 首先在第一章,我们对求解扩散方程的各种DG方法进行了回顾,这些方法包括:局部间断Galerkin方法(LDG), Baumann-Oden DG方法,Gassner广义黎曼问题DG方法,直接间断Galerkin方法(DDG), Cheng-Shu提出的间断Galerkin方法和内惩罚类方法。我们分析这些DG方法之间的联系,并比较了各自特点。在时间离散方面,我们着重介绍保持强稳定性质的Runge-Kutta方法,指数时间差分方法和隐积分因子方法,其中隐积分因子方法既可以避免显式方法苛刻的时间步长限制,又可以保证DG方法在每个单元上局部求解的特点,适用于DG格式离散后得到的半离散形式。 第二章应用局部间断Galerkin方法求解了一类Burgers方程和N-载体系统。数值算例得到的结果与精确解和其他结果进行了比较,验证了该方法的高精度和可靠性。 第三章应用间断Galerkin方法求解带有间断系数的扩散方程。对于带有间断系数的抛物方程,针对扩散系数间断的特点,我们提出了一种满足能流连续的加权数值流量,发展了一种新型的DG格式,并证明了该格式的稳定性和收敛性,数值算例验证了收敛性分析。对于带有间断系数的椭圆方程,我们构造一种新的加权内惩罚方法,证明了双线性形式的连续性和强制性,并给出收敛性证明,数值算例表明我们的DG方法对于求解强间断系数问题十分有效。 第四章讨论非线性Schrodinger方程(NLS)的间断Galerkin方法。我们应用直接间断Galerkin方法求解了一维、二维以及耦合的非线性Schrodinger方程,证明了直接间断Galerkin方法得到的数值解满足质量守恒律。与徐岩等人的局部间断Galerkin方法相比,直接间断Galerkin方法不用引入辅助变量,从而减少了计算量。通过对众多数值算例的求解,我们得到了非常好的数值模拟效果。 第五章讨论反应-扩散方程的间断Galerkin方法。空间离散采用直接间断Galerkin方法,时间离散应用隐式积分因子方法求解。隐式积分因子方法在得到高精度的同时又具有良好的稳定性,避免了显式时间离散方法对时间步长的苛刻限制。更为重要的是该方法无需求解大规模的非线性代数方程组,可以应用Newton方法逐个单元求解非线性代数方程组,保持了DG方法局部求解的特性。 第六章将隐式积分因子方法与间断Galerkin方法结合求解辐射扩散方程。非平衡辐射扩散方程在不同的物质界面处扩散系数可以相差量级,我们将第三章构造的加权数值流量推广至此,得到一种新的加权DG方法。对于一维非平衡辐射扩散方程,由于自由度数不是很大,我们应用全隐格式进行时间离散;对于二维非平衡辐射扩散方程,我们首先利用线性化对非线性扩散系数进行显式处理,然后再利用积分因子方法求解非线性常微分方程组,得到一种新的隐-显积分因子DG方法。本文首次将DG方法应用到强耦合、多介质、强非线性的辐射扩散方程组,这是间断Galerkin方法一个新的应用拓展。 第七章对全文做了总结,并对下一步的工作进行了展望。


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