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刚性微分方程的并行Rosenbrock方法

曹学年  
【摘要】: 随着并行计算机的飞速发展,并行计算已成为数值求解刚性微分方程的十分重要的 手段之一,为此迫切需要研究刚性微分方程的高效并行算法。文献中对Runge-Kutta法 及块方法的并行计算研究较多,但对在串行环境下已被证明是十分有效的Rosenbrock方 法是否能相应地建立高效并行计算格式却很少涉及。1996年,陈丽容、刘德贵首次构造 了一类求解刚性常微分方程的并行Rosenbrock方法(PRMs),它们的计算速度高于同阶 串行Rosenbrock方法,但其计算精度不如后者。本文目的是试图研究和构造在计算速度 和精度两方面均优于相应串行格式的高效并行Rosenbrock方法,并对所构造的新的并行 算法用于求解刚性常微分方程、微分代数方程、刚性延迟微分方程、偏微分方程初边值 问题以及刚性动力系统的实时数字仿真作一较为彻底的研究。 在第二章,作为对PRM方法的改进,我们提出了一类含有若干自由参数的修改的并 行Rosenbrock方法(MPROWs),讨论了方法的收敛性和数值稳定性。特别,通过用Powell 方法优化方法的稳定区域和极小化方法的误差系数,搜索出了接近于最佳的两组自由参 数值,相应地构造了A-稳定的二级三阶方法MPROW3以及三级四阶方法MPROW4。 理论分析和数值试验表明,新方法不仅保持了PRM方法计算速度快的优势,且明显改 善了数值稳定性和计算精度。对求解刚性问题,新方法在计算速度、计算精度和数值稳 定性各方面较已有的同阶并行及串行Rosenbrock方法具有综合优势。 在第三章,我们进一步推广MPROWs,构造了并行广义Rosenbrock方法(PER- OWs)。分析了这类方法的收敛性和数值稳定性。通过适当选择自由参数,构造了A-稳 定的二级四阶并行格式PEROW4,它比同级的方法MPROW3高一阶,因而在计算精度 上优于后者。此外,PEROW4能使得各处理机上的负载基本均衡,从而达到非常理想 的加速比和并行效率。 目前我们已初步形成了基于MPROWs及PEROWs的刚性微分方程软件包,并应 用Hairer等人的技巧,使该软件包同样适用于求解指标1的微分代数方程。对于微分代 数方程的数值试验从另一个侧面证实了所构造方法是高效的和稳定可靠的。 将并行处理思想引入实时数字仿真是一个重要发展趋势。然而目前文献中已有的 实时数字仿真并行算法及陈丽容等构造的并行PRM方法,由于每一计算步(t_n,y_n)→ (t_(n+1),y_(n+1))所需要的中间逼近值所相应的时间点均取在区间(t_n,t_(n+1))内,以致在并行计 算过程中,用于计算这些中间逼近值的部分处理机需要花费较多时间等待采样信息的到 来,这种时间上的延迟导致并行效率降低。为了克服这一实质缺点,本文第四章通过修 改MPROWs,使方法的并行计算仅依赖于前一步的采样信息,构造了一类新的实时数字 仿真并行Rosenbrock方法,简记为RPROWs。新方法从根本上解决了采样信息与并行 计算存在时间冲突的问题,保证了各处理机的高效运作,因而具有重要实用价值。而且 这一新的思想为今后进一步构造动力系统实时数字仿真的其他新的高效并行算法开辟了 途径.在这一章,用Butcher的树结构理论及Hairer和叭厄nner的B一级数理论导出了 方法的阶条件,构造了A一稳定的三阶方法RPROW3和A(。)(a=89.960)稳定的四阶 方法RPROw4. 延迟微分方程广泛出现于物理、工程、生物、医学及经济等领域,近年来国内外对其 数值方法的研究已形成热流.然而文献中讨论延迟微分方程的串行Runge一Kutta法和线 性多步法较多,很少涉及这方面的并行算法,而且我们迄今未见到任何作者研究求解延 迟微分方程的Rosenbrock方法.为了填补这一空白,本文第五章首先将常微分方程的串 行ROW方法适当改造,构造了求解延迟微分方程的一类串行Rosenbrock方法,证明了 这类方法是GP一稳定的,然后在此基础上进一步构造了延迟微分方程的并行Rosenbrock 方法,它可视为MPROW方法的推广.数值试验表明,我们所构造的串行及并行算法对 于刚性延迟微分方程均有较好的计算效果.令人惊奇的是这里的并行算法不仅比同阶串 行算法速度更快,且计算精度更高. 在第六章,我们将基于MPROWs及PEROWs的软件包中求解线性方程组的通常 的高斯消去法修改为带状矩阵消元法及变带宽消元法,从而获得适合于用线方法求解偏 微分方程的常微分方程求解器.本章列举了用这一常微分方程求解器,通过线方法求解 若干偏微分方程初边值问题的实例.数值试验表明我们构造的并行Rosenbro次方法对于 抛物型问题是高效的.尤其是对于精度要求不高的问题,这类方法的计算效果常常优于 其他常用算法.


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