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非线性发展方程显式解的研究

刘希强  
【摘要】: 本文通过应用反散射方法、李群分析方法、达布变换及其函数变换,得到了一些非线性发展方程的显式解,并讨论了部分解的性质。 在第二章中,我们主要研究了非线性Schr(?)dinger型方程。对高阶非线性Schr(?)dinger方程(1.4),通过相平面分析,得到了同宿轨线、异宿轨线、闭轨线分别对应着方程(1.4)的亮孤立波解、暗孤立波解、周期解的结论;较系统地求出了方程(1.4)的亮孤立波解、暗孤立波解和椭圆周期解。通过分析高阶非线性项和三阶色散项对孤子的影响,得到了下述解的有关性质:(1)孤立波的峰值与三阶色散项和高阶非线性项的比率成正比,用此比率代替了通常Schr(?)dinger方程的比率|k~(?)|/β。(2)在单模光纤中,亮孤立波解和暗孤立波解是否存在由三阶色散项的k~(?),的符号决定,依此代替了非线性Schr(?)dinger方程(1.2)中相应k~(11)所起的作用;在负三阶色散区域中可以存在亮孤立波解,在正三阶色散区域中也可以存在暗孤立波解;亮孤立波和暗孤立波不仅可在反常群速度色散区域中传输,也可在正常群速度色散区域中传输。(3)由于三阶色散项的作用,暗孤立波的群速度修正量为,亮孤立波的群速度修正量为(4)因为孤子的速度依赖于其脉宽,因此方程不存在有界的N孤立子。 对于Bose-Einsten凝聚中的Gross-Pitaevskii方程(1.3),应用反散射方法、达布变换法,我们给出了求(1.3)的多孤立子解的公式,准确地获得单孤子解、二孤立子解、暗孤立子解和具有奇异性的显式行波解。我们把Tanh-函数变换法推广到sec_q—tanh_q方法,给出了多分量Schr(?)dinger和Klein-Gordon方程孤立波解。具体地说,我们给出了方程组下述形式的孤立波解:(n~N,vu~(N-1),u~2u~(N-2),…,n~(N-1)u);(v~N,uv~(N-1),u~2v~(N-2),…,u~(N-1)v),其中u=sec_q(·),v=tanh_q(.),这些结果是全新的。 在第三章中,首先利用推广的齐次平衡法求出了方程组(1.10),(1.11)的多孤立子解和其他形式的显式解,并利用李群分析法研究了所导出的共轭热传导方程,选出了它对应六维李代数的基算子,从而获得了方程组(1.10),(1.11)一类相似解(这些解是由抛物柱函数、Airy函数及其导数构成)。其次,对1+1维高阶BK方程组(1.8),(1.9)和2+1维高阶BK方程组(1.12),(1.13),给出了它们初始值问题的封闭形式解和无限多有理函数解,同时也得到了它们的孤立波解。 在第四章中,对于描述非均匀介质的一般变系数KdV方程(1.16),在系数满足一定约束条件下,利用李群分析方法得到了其孤立波解;由于阻尼项的存在,其孤立波解是按照指数因子衰减的,非均匀项和阻尼项系数α(t),β(t)的变化也直接影响到孤立波的速度的改变。对于一类特殊的变系数KdV方程(1.16)(其中α=β=0),可被约化成Painleve第二类方程,此时这类方程具有Painleve超越函数表达的解;同时我们也给出了该方程的多孤立子解。应用一种统一的求解方法,得到了五阶KdV方程、sawada-Kotera 川 摘 要 方程、Kaup-Kupershmidt方程和 Caudrey-Dodd-Gibbon-S删ada-Kotera方程的行波 解和周期解。通过构造函数变换,我们得到了耦合KdV方程组的一系列 孤立波解和由椭圆函数表达的周期解。这些孤立波解的宽度是恒定的, 而振幅和速度是任意的,并且有些解是在中心孤立波的基础上又叠加了 一个更尖锐的孤立波,局域特性更加明显。 在第五章中,我们研究了n维Landau-Lifshitz(1.20)整体光滑解和有限 时间的Blow-up解的存在性。一方面,我们得到了两类显式解的准确表 达式。另一方面,我们得到解的下述性质:1.计算得到一类解的空间 什h中炬人h时hSPZ叫卜 厂_】d二d二D 卜*2.u、/_‘、2.LZ_2门 川_一2 J门nt 八15 土tR喉巨了二 曲S巧w曲叫一N心1”trw”L…Z十心引IC厂十问T“’“’”’C“11—AI’)卜,)上(目厂巳 了当 t -+ t*时,成立 6、。。即这类解在有限时间 t*-T/Al(>)发生 爆炸;但在有卜 区域 D*={(t,了);0 s t<术*,r*三叮三**}内,Landau Lifshit*方 程的解是光滑解,我们推广了已有的相应结论。2.同样我们也得到了 -.t-1 厂Z_云*一$E仕bhis flrT i二了叫卜 厂id二d二I_rl-ZI_’。:_I_T\._*一t_.二__。I_了\\2 力一乡e用于回二方口〕叫一PW 尤2” rtr “卜SLc Sill叩OXi)十 h0T“’”C“COS\th。b)厂十 k7(C COS(。。L)一。。,‘一”C一‘SIS(。。L))’]呈,其中 L(,)-丁厂2(叮)r1一。dr。此时空间曲 线的曲率不依赖于时间。;给定适当的初边值条件,LL方程在区域D。= {(t,,);0 5卜 co;0勺<co}上有整体光滑解。尤其是对任意的 t,只要,、0+ 。时保证 c(厂)叶0,解在,二0时是连续的。对 Belousov-Zhabotinskii化学反应中 N叫。s-Field方程组,我们求出了它的八组显式解。通过利用线性无关的函 数列来表示未知函数,我们分别得到二维双曲守恒律方程


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