平面高次向量场的某些分支及其应用

【摘要】： 本文研究几类平面高次向量场的奇点分支、相图分支和极限环分支，并把平面向量场的分支方法应用到一类偏微分方程的求解中。利用带参数的Hamilton向量场小扰动方法和计算机模拟方法，首先我们证明了一类三次Hamilton向量场在五种形式的任意次扰动下的极限环分布是一致的，并证明了扰动次数是三次时，存在11个极限环，扰动次数是7时，存在13个极限环，扰动次数是9时，存在14个极限环，而且还模拟出了每一个极限环的稳定性及精确位置。其次，用同样的方法，我们研究了三类五次向量场在五次扰动下的极限环分布，同时也模拟出了每一个极限环的稳定性质及精确位置，以上两种方法的结果是一致的。最后，我们将平面向量场的分支方法应用到广义Camassa-Holm方程，证明了参数k≠0时，Camassa-Holm方程也存在孤立尖波解，而且从3条途径获得孤立尖波解。从而纠正了参考文献中“当k≠0时孤立子不再有尖点”的结论。还证明了对广义的Camassa-Holm方程这3条途径也同样有效，也显示了孤立尖波的分支现象和某些有界行波之间的关系，在某些条件下求出了孤立尖波解。