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线性哈密顿系统振动性理论与渐近性理论研究

孟凡伟  
【摘要】: 众所周知,由G.Sturm建立的齐次二阶线性微分方程零点分布的比较理论和分离理论为微分方程振动性理论的研究奠定了基础。一个半世纪以来,微分方程的振动性理论已经取得了迅猛的发展,在微分方程定性理论及边值理论问题研究中占有很重要的地位。随着这一方向研究的深入和发展,其研究内容及研究方法不断得到丰富,无论是线性方程还是非线性方程的研究,近二十年来都取得了大量的研究成果,研究方向也扩展到矩阵微分系统、泛函微分方程、差分方程、偏微分方程等有关领域。 本文的主要内容分为以下四部分: 第一部分.研究二阶自伴矩阵微分方程解的振动性,其中P(t),Q(t),X(t)是n×n实连续矩阵函数,P(t)>0是正定实对称矩阵,Q(t)是对称矩阵。 利用推广的Riccati变换及平均函数技巧,所得结果推广和改进了前人的一些相关结果。此外,已有的关于(1)振动的准则大都是在整个实半轴上考虑的,因此,要求系统(1)的系数矩阵P(t),Q(t)在[t_0,∞)上具有较好的积分性质。但另一方面,按照振动性的定义,系统(1)的振动性又仅仅是一个区间性质,因此,很自然地想到,只要在[t_0,∞)的一系列子区间上来研究系统(1)的振动性,这样就大大降低了对P(t),Q(t)的限制。本文还建立了(1)振动的若干区间准则。所得准则仅依赖于系统在[t_0,∞)的一个子区间序列的信息,而有别于已知的大多数结论。我们的结果更精确,并能应用于判别如的极端情形。 第二部分.研究线性哈密顿系统其中A(t),B(t),C(t)是n×n矩阵函数,B,C是Hermitian矩阵,即B~*(t)=B(t),C~*(t)=C(t),这里M~*表示矩阵M的共轭转置。 博士学位论文 同时,考虑相应的矩阵微分方程 { X,=A(t)X+B(亡)Y, Yl=C(t)X一A中(t)丫 t全to, 的振动性. 目前,关于Hamiltonian系统(s)振动性的研究结果还不多见.本文研究了(3)的振 动性,将二阶矩阵微分系统的振动性结果推广到系统(s).由于采用了更一般的Riccati 变换,所得结果改进了以往关于矩阵系统的结果.同时还给出了(a)振动的若干区间准 则.所得结果仅依赖于系统在[t。,co)上的一个子区间序列的信息,因此结果更精确. 第三部分.研究二阶微分方程 (:(。)二’)’+p(t)x‘+(。l(t)+。2(t))x=f(,), 其中:(:)o是[a,co)上绝对连续函数,p(:),。l(t),。2仕),f(t)是[a,co)上局部可积的实函 数.方程(’)称为极限圆型的,若方程(’)的所有解都属于护[a,co)(简记为L.C.);方程 (’)称为拉格拉日稳定,若方程(’)的所有解均属于Lco[a,co)(简记为L.S.). 由于方程(’)解的平方可积性及有界性的研究在微分算子理论、按微分方程的特征 函数展开理论以及无界区间上受控系统的最佳控制理论等方面具有重要应用.因此, 近一个时期以来,关于这一问题研究有许多好的结果. 本文主要研究了二阶非齐次线性微分方程解的平方可积性与有界性及二阶非线性 微分方程属于极限圆型的判定问题,引进了一个重要技巧不等式和辅助函数,改进了 不等式的估值.由于采用了更一般的辅助函数,使所得结果对于f(t)=0的情形优于 以往的相应结果. 第四部分.研究二阶拟线性中立型时滞微分方程 [。(t)l(:(t)+夕(t):(t一二))’I“一‘(x(t)+p(t)二(t一二))‘]‘+。(t)f(二(t一。))=o, 的振动性,其中。全t。,ao,二全。,。全。是常数,a,p,。任C([云。,co):R),f〔C(R;R). 利用平均函数,形ccati变换以及Young不等式,建立了方程(s)的若干振动准则.


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