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偏微分方程迭代并行解法与网格优化方法

杭旭登  
【摘要】:科学计算对计算规模的要求是无止境的,随着计算机能力的飞速的发展,计算的规模已经从几千几万到百万甚至千万上亿的规模。算法也相应地由串行的算法发展到适合大规模并行计算机的并行算法。计算规模的扩大带来了许多新问题。首先,并行计算机的体系结构要求相应的算法能充分挖掘计算能力,促进了并行计算方法的研究;其次,大规模的数值模拟计算对于计算方法的稳定性和计算网格的品质提出了更高的要求,推动了算法的稳定性和流体计算中计算网格的优化研究。因此,本文的主要研究目标是针对偏微分方程大规模的数值模拟中出现的这些问题进行研究,提出解决的方法和进行理论分析。 现代并行计算面临许多问题。从并行机的体系结构来说,大规模分布式内存并行计算机(MPP,或PC Cluster)是发展的主导方向,其主要特征是采用消息传递进行不同处理机之间的通信。现代大规模并行计算面临的主要瓶颈是全局通信问题和同步问题。全局通信体现了整个问题的全局综合,这是种全局性无法避免,但可以通过别的途径使之达到相同的功能,比如通过迭代方法。在构造偏微分方程离散计算格式时,应尽可能考虑避免整体数据的强相关和无需全局通讯的具有高并行度的格式。研究突破代数的层面,从差分格式乃至偏微分方程,甚至物理问题的层面来提出新的算法。偏微分方程的差分格式是离散逼近的重要的一步,其并行性方面的研究最近二十年来得到广泛的重视和发展。但离散格式的构造和格式的代数求解没有充分地结合起来,这两者相结合的问题没有受到足够的重视。实际上,差分格式的成功和代数方程组的求解息息相关,只有把差分格式和方程组的迭代求解结合起来研究,才可能使代数方程组的一些比较有效的迭代方法发挥更大的作用,构造真正适合应用的差分格式。大规模科学计算的另外一个问题是对于高速流动的流体,当用Lagrange方法或ALE方法进行计算时,容易出现网格折叠的情况而中断计算,这是精密物理的大规模数值模拟中目前遇到的瓶颈问题之一。 针对以上的问题,本论文对偏微分方程的差分数值求解进行了讨论。针对在现代并行计算机条件下如何充分有效地利用大量的计算机资源,高效稳定地数值求解偏微分方程,进行了详细的讨论。本论文的特点是结合迭代算法研究差分格式和结合差分格式研究迭代算法,从而使两者有机地结合到一起,为更好的解决辐射流体热传导和粒子输运计算等问题,探索新的研究途径。对区域分解的并行算法进行了理论分析和数值试验比较研究,将这些方法应用于抛物型方程和中子输运方程,得到了一些有创新性的结果;对代数方程组的求解的红黑排序混合算法进行了详细的理论分析和数值试验,并将其应用于辐射流体力学计算和油藏模拟中,取得了满意的计算结果;结合并行差分格式对Krylov子空间方法提出了一种并行预条件技术,并对其谱性质进行了较深入的分析;对于流体计算网格的优化,提出了一种组合优化的方法,这种优化方法的计算量小,并且能优化凹网格的问题,同时能较好的保持优化过的网格的重心能匹配原来网格的重心,能比较有效的解决网格的优化问题。 全文的主要内容可以大致分为三个部分:并行差分方法,线性代数方程组的并行高效求 解和姆格优化这花个部分既相互独立,同时又相互影响和相互促进。木文结构如下:首先 是绪论,概括介绍了本文的研究背萦和主要内容;第一章、第二章、 式的钩造技术,主要研究了迭代并行差分格式的稳定性和收敛性, 第说章研究并行差分格 以及结合迭代技术的迭代 并行差分格式的构造和理论分析;第四章研究中子输运方程离散纵标方法的迭代并行差分格 式:第五章讨论了红黑排序混合算法的收敛速度问题,以及该算法在实际工程计算中的应娜: 第六章是墓于界荡预估和修正的并行预条件技术。第七章讨论了计算流体的A LE方法中的卿 格重构和优化技术。 本文的杰要_f作如一F: 口}给出DFF差分格式的一个2范数的严格的无条件稳定性的证明,并估计出稳定性的常数, 同时证明了用OFF差分格式构造的区域分解并行差分格式的稳定性的必要条件。 阴对显式迭代并行差分格式证明了其对于模型问题的稳定性条件比纯显式差分格式放宽了 封仍以_七。 睁}从空间区域分解出发,综合考虑迭代算法和差分格式的相互关系,使得两者相互触合,取 长补辣,设计了高效的迭代并行差分格式,这些新构造的并行格式其有良好的性质,主要 表现在如下豹几个方面: 给一)差分格式豹稳定性非常好。 (二)差分格式有较高的精度。 (蕊)差分格式构造比较简单,对区域的剂分没有任何限制。 (洲)差分格式不需要全局通信,有很好的扩展性。 (五)便于对已有的程序进行改造。 拼〕将构造抛物型方程并行差分格式的方法推广到中子输运方程,进行了数值试验。 吓!对线性代数方程组的迭代算法,红黑排序混合算法,分析了其算法特性和算法的收敛加速 悄况。证明了红黑排序混合算法比自然排序的算法,!讨样用共辘梯度法和Jacob玄迭代方法 求解,混合算法收敛速度是自然排序的2倍;用GMRES算法,混合算法收敛速度是自然 排序算法的2到4倍。大金的数徽试验验证了理沦


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