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刚性奇异延迟微分方程的数值方法

冷欣  
【摘要】:本论文共分为五章内容。主要研究了刚性奇异延迟微分方程系统的数值方法,提出了求解奇异和非奇异延迟微分方程的两步连续Runge-Kutta方法、求解刚性奇异和非奇异延迟微分方程的两步连续Rosenbrock方法、求解刚性奇异和非奇异延迟微分方程系统的组合两步连续RK-Rosenbrock方法。采用一般线性方法作为积分方法的基本形式;使用连续延拓的方法给出稠密输出;为了在奇异延迟情形下保持方法的显式计算,提出了在当前的积分步内计算级值时,放松延迟对计算的影响的方法;分别应用根树、B-级数理论、P-根树、P-级数理论推导方法的阶条件。 第一章综述了延迟微分方程的应用领域以及延迟微分方程的分类。回顾了求解非奇异延迟微分方程和求解奇异延迟微分方程的数值方法的现状和发展,阐述了求解延迟微分方程存在的困难,着重分析了求解奇异延迟微分方程的数值方法,并提出了本文将要研究的内容。 第二章构造了求解奇异延迟微分方程和非奇异延迟微分方程的两步连续Runge-Kutta方法。当求解非刚性延迟微分方程时,所构造的方法比同阶的连续Runge-Kutta方法具有好的稳定性;当求解奇异延迟微分方程时,构造的方法保持了方法的显式计算性质,避免了迭代求解,计算工作量小。 第三章构造了求解刚性奇异延迟微分方程和求解刚性非奇异延迟微分方程的两步连续Rosenbrock方法。当求解刚性非奇异延迟微分方程时,所构造的方法具有GP-稳定性;当求解刚性奇异延迟微分方程时,构造了奇异延迟稳定的方法,结合GP-稳定的两步连续Rosenbrock方法,提出了求解刚性奇异延迟微分方程的数值算法。方法具有较小的计算复杂性。 第四章针对于分解的刚性延迟微分方程系统分别构造了求解刚性奇异延迟微分方程系统和求解刚性非奇异延迟微分方程系统的组合两步连续RK-Rosenbrock方法。用两步连续Runge-Kutta方法求解非刚性延迟子系统,用两步连续Rosenbrock方法求解刚性延迟子系统。 第五章是本文的结论和进一步工作展望。 对于以上的数值方法,比较系统的研究了方法的构造、具体的计算公式以及它们的收敛性和数值稳定性,并进行了数值试验。数值试验表明所研究的方法是有效的。关键词 延迟微分方程,刚性延迟微分方程,奇异延迟微分方程,刚性奇异延迟微分方程,数值方法,数值稳定性,收敛性,数值试验


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