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具有不连续系数的椭圆与抛物方程解的正则性

王月山  
【摘要】:四十多年来,大批数学家研究了具有不连续系数的椭圆与抛物方程解的局部或整体正则性。特别是借助于Calderon-Zygmund奇异积分理论,解的正则性研究得到了长足进展。1991年,Chiarenza,Frasca和Longo利用Calderon-Zygmund奇异积分算子理论研究了具有VMO系数的非散度型椭圆方程解的局部W~(2,p)正则性,他们的方法是由凝固系数法建立起解的导数表示公式,然后再利用奇异积分和交换子的L~p估计得到解的局部正则性([22])。1993年他们又得到了非散度椭圆方程解的整体正则性([23])。随后,有大量文献研究了非散度椭圆(抛物)方程解的L~p正则性或Morrey正则性((10,21,26,31,35,33,34,37,36,44,46,51,53,54,75])。2000年,Ragusa研究了散度型椭圆方程的解在Morrey空间上的局部正则性[60]。2003年,王立河[79]应用Vitali覆盖引理,极大函数理论和紧性方法给出了Calderon-Zygmund估计的另外一种证明方法。利用这种方法,王立河和Byun研究了具有小BMO系数的散度型椭圆方程和抛物方程解的L~p正则性([6,7,12,13,14])。 本文用两种方法研究具有不连续系数的椭圆和抛物方程解的正则性:用Chiarenza,Frasca和Longo的方法研究了主系数属于VMO且具有低阶项的散度型椭圆方程的解在Morrey空间上的整体正则性和H(o|¨)lder正则性,还研究了主系数属于VMO的散度型抛物方程的解在L~p空间和Morrey空间上的局部正则性和H(o|¨)lder正则性;用王立河和Byun的方法研究了具有小BMO系数的非散度椭圆方程和抛物方程的解在L~p(p>2)空间上的局部正则性,并给出了这些结果的应用。具体内容如下: (1).研究了具有低阶项的散度型椭圆方程 -(a_(ij)u_(x_i))_(x_j)+b_iu_(x_i)-(d_ju)_(x_j)+cu=divf,x∈Ω的弱解在Morrey空间中的正则性。这里主系数矩阵{a_(ij)}是对称、满足一致椭圆条件且属于Sarason函数类VMO,低阶项系数b_i,d_i,c属于适当的Morrey空间,(?)Ω∈C~1。在上述条件下,如果f∈L~(p,λ)(Ω)(1<p<∞,0<λ<n),u∈W_0~(1,p)(Ω)是方程的解,则u属于Sobolev-Morrey空间W~(1,p,λ)(Ω),且当p+λ>n时u属于H(o|¨)lder空间C~(0,δ)((?)),特别地,当p≥2时, ‖u‖W~(1,p,λ)(Ω)≤C(‖u‖L~(p,λ)(Ω)+‖f‖L~(p,λ)(Ω));


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