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地球物理流体动力学中某些偏微分方程及其无穷维动力系统的研究

黄代文  
【摘要】: 本论文研究地球物理流体动力学中的大气、海洋简化方程组及其无穷维动力系统,还考虑简化的二维准地转的随机动力系统。地球物理流体动力学研究的重要对象之一是大气和海洋大尺度现象的动力学问题。大气和海洋动力学的理论研究的重要内容之一是考虑大气、海洋的无穷维动力系统。理解动力系统的渐近行为是研究无穷维动力系统的主要内容,也是当代数学物理的重要问题之一。解决这一问题的方法之一是研究动力系统的整体吸引子。在这篇文章中,我们从数学上严格地证明了大气整体吸引子、海洋整体吸引子及其二维准地转方程的随机吸引子的存在性。我们的结果在一定程度上完善了大气、海洋非线性偏微分方程及其无穷维动力系统的数学理论,对研究大气、海洋大尺度运动有基础性的意义。本论文分为四章。 在第一章,我们介绍大气、海洋简化方程组及其无穷维动力系统的研究背景和进展介绍,并阐述我们的主要结果。 在第二章,我们考虑大尺度湿大气简化方程组的初边值问题。大气简化方程组可以用于理解长期天气预报和气候变化的湍流行为。应用Faedo-Galerkin方法和紧性理论,我们得到大尺度大气中的这一初边值问题整体弱解的存在性。而且,我们还研究弱解的渐近行为,并证明大尺度湿大气的无穷维动力系统关于时间平移半群的轨道和弱整体吸引子的存在性。 在第三章,我们继续研究大尺度湿大气的三维粘性简化方程组的初边值问题。首先,我们得到这一初边值问题的整体强解的存在、唯一、稳定性。其次,通过研究强解的长时间行为,我们构造大尺度湿大气的无穷维动力系统基于解半群的强整体吸引子。 在第四章,考虑带随机外力项二维耗散的准地转方程。这个方程可以描述一类在随机外力作用下的大尺度地球物理流的运动规律(这里外力是Gaussian随机场,关于时间是白噪声)。一方面,我们证明这一随机方程初边值问题的整体解的存在、唯—性。另一方面,通过研究解的渐近行为,我们得到随机准地转动力系统的随机吸引子的存在性。


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