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流体动力学方程的Fourier局部化方法

吴刚  
【摘要】: Fourier局部化方法是研究流体动力学方程(组)的一个崭新的工具,它主要基于经典的Littlewood-Paley理论和Bony的仿积分解技术。Meyer,Chemin,Cannone,Planchon及其法国学派发展了一整套研究不可压缩流体动力学方程的技术和方法,得到了一系列深刻的结果。与此同时,Danchin又将这些方法应用到了可压缩流体动力学方程的研究中。最近,Danchin,Abidi,Hmidi,Keraani等数学家进一步发展了Fourier局部化方法,建立了一些新的局部化引理和交换子估计,并将其应用到了一些流体动力学方程的研究中。 本文致力于利用Fourier局部化方法来研究二维分数阶Navier-Stokes方程,临界耗散Burgers方程,旋转浅水方程和二维分数次耗散chemotaxis方程等几类流体动力学方程,主要研究解的局部适定性,整体适定性,以及粘性方程解的无粘极限等问题。为此,我们借助于Fourier局部化方法首次建立了分数次Laplace算子的交换子估计和分数阶输运扩散方程的一致时空估计,该一致估计对散度自由和非散度自由的系数都是有效的,从而为研究(分数次耗散)不可压和可压流体动力学方程提供了一个重要的工具。 本文具体内容如下: 第二章回忆Besov空间理论和Fourier局部化方法,列举Besov空间的一些基本性质和Bony仿积估计,同时介绍Fourier局部化方法中的一些新的局部化引理和交换子估计。 第三章研究二维分数阶Navier-Stokes方程的无粘极限,并估计其极限的收敛速度。此外,还证明初始正则性在临界Besov空间的一致保持性。为了证明这些结果,我们首先利用具有正的小正则性指标的齐次Besov空间的差商刻画来证明一个分数次Laplace算子的交换子估计。然后我们利用这个交换子估计结合Fourier局部化技巧来证明涡度方程的一个频段层次上的正则效应,进而来证明粘性速度的Lipschitz范数关于粘性v的一致有界性。 第四章研究临界耗散Burgers方程(?)_tu+u(?)_xu+(-Δu)~(1/2)=0的Cauchy问题。文中我们利用Fourier局部化方法结合Lagrangian坐标变换以及分数次Laplace算子的交换子估计首次建立了分数阶输运扩散方程在Besov框架下的一致时空估计,这是证明局部适定性的关键,同时也为其他相关方程的研究提供了一个很好的工具。然后我们利用连续模方法以及Fourier局部化技巧来证明临界耗散Burgers方程在临界Besov空间(?)_(p,1)~(1/p)(R)(p∈[1,∞))中的整体适定性。 第五章研究带有毛细管作用项的粘性旋转浅水方程。我们证明Cauchy问题在关于初值的低正则性假设下的局部存在性和唯一性,关于初始高度要求远离零点有界。为此,我们首先进行变量替换并利用Hodge分解将向量场分解成一个可压部分和一个不可压部分,由于Coriolis力的旋转效应,从而得到一个耦合系统。然后,借助于Fourier局部化方法,我们得到相应线性系统的先验估计。因为Coriolis frequency的出现,我们必须对高频部分和低频部分进行不同的估计。最后,我们使用一个经典的迭代方法来构造逼近解并证明局部存在性和唯一性。 第六章研究chemotaxis的Keller-Segel模型的推广一分数次耗散方程u_t+(-Δ)~(α/2)u=▽·(u▽(Δ~(-1)u))的Cauchy问题,这里初值u_0属于临界的Besov空间(?)_(2,r)~(1-α)(R~2),其中r∈[1,∞],1<α<2。利用mixed时空空间框架下的线性耗散方程的估计,Chemin的“单模”方法,Fourier局部化技巧和Littlewood-Paley理论,我们得到一个局部适定性结果。此外,我们还考虑类似的“双抛物”模型。


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