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时滞非线性动力系统的建模与研究

蔡礼明  
【摘要】: 目前对阶段结构种群动力学模型的研究是生物数学研究领域的一个热门课题.这不仅因为阶段结构模型比相应的偏微分方程模型数学上更容易处理(前者模型中的参数能够具体化),而且因为研究这两类模型所得结论十分接近.艾滋病(AIDS)是由人类免疫缺陷病毒(HIV)引起的一种免疫缺陷性疾病.人体感染HIV后,经过较长的潜伏期(5-12年),机体免疫功能逐渐衰退,最后因各种机会性感染而死亡.从May和Anderson最早建立的简单的HIV/AIDS传播模型到现在,HIV/AIDS传播建模和分析已引起许多学者的兴趣.建立和分析HIV/AIDS传播模型有助于人们很好地理解HIV/AIDS传播规律,也为预防和控制HIV/AIDS传播提供理论基础. 本文基于这两类生物模型的研究现状,系统地研究了由时滞微分方程描述的这两类非线性动力系统(阶段结构的捕食系统和HIV/AIDS传播动力学系统)的动力学性态.全文主要内容包括两部分:第一部分(含第2,第3章)首次建立了具有种内竞争和阶段结构的捕食模型及具有时滞的阶段结构捕食模型.通过构造Lyapunov泛函和运用LaSalle不变原理、无穷维系统的持续生存理论、特征方程理论、分支理论等相关知识,分析了这些系统平衡态的局部和全局渐近稳定性、持续生存性及其分支现象等,给出了系统平衡态局部和全局渐近稳定的充分条件、种群持续生存、灭绝以及Hopf分支产生的条件.第二部分(含第4,5,6章)首次建立了具有治疗的HIV/AIDS传播模型、具有非线性传染力和时滞的HIV/AIDS传播模型及HIV/AIDS感染CD4+T-细胞时滞模型.运用矩阵论、广义Bendixson-Dulac定理、可测函数性质、波动引理、时滞微分方程定性和稳定性理论、特征方程理论、持续生存理论和分支理论等相关知识,分析了这些系统平衡态的稳定性、疾病的持续生存性、时滞对系统稳定性的影响和系统产生分支现象,给出了系统基本再生数的表达式、疾病持续、灭绝的条件、平衡态的稳定性和系统产生分支的条件等. 全文共分6章,每章主要内容及创新点如下: 第1章绪论部分,简单介绍本文研究问题的背景、理论和实际意义、国内外现状以及本文主要内容和方法. 第2章考虑捕食者之间的种内竞争和阶段结构对捕食系统的影响,首次建立了具有Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食模型.运用无穷维系统的持续生存理论和比较定理,讨论了系统的持续生存性和边界平衡态的全局稳定性,得到了种群持续生存、灭绝的阈值条件.通过构造适当的Lyapunov泛函和运用LaSalle不变原理,对平衡态进行了稳定性分析,给出了平衡态局部渐近稳定性的充分条件.运用逐次迭代方法分析了正平衡态的全局稳定性,给出了正平衡态全局吸引的充分条件. 第3章考虑阶段结构和种群妊娠时滞对经典Lotka-Volterra捕食系统的影响,建立了具有时滞的阶段结构捕食模型.运用时滞微分方程定性和稳定性理论、LaSalle不变原理和构造Lyapunov泛函,得到了系统持续生存的充分条件及平衡态全局渐近稳定性的充分条件.运用时滞特征方程理论、泛函微分方程的规范型理论和中心流定理,通过讨论具有状态依赖的时滞特征方程,得到了系统由时滞引起的稳定性开关和Hopf分支发生的条件. 第4章运用矩阵论和时滞微分方程的分支理论等相关知识,首次讨论了具有治疗的HIV/AIDS传播模型的动力学性质,得到了系统基本再生数的表达式、地方病平衡态局部渐近稳定性的条件和系统产生Hopf分支的条件.并运用广义Bendixson-Dulac定理,证明了系统地方病平衡态的全局渐近稳定性.通过数值模拟验证了理论上所得到的结果. 第5章运用泛函分析中可测函数的性质、波动引理、时滞特征方程理论及泛函微分方程的定性理论等相关知识,首次分析了具有潜伏期时滞和非线性传染力的HIV/AIDS传播模型的动力学性质,得到了系统基本再生数的表达式、无病平衡态全局渐近稳定、地方病平衡态局部渐近稳定及疾病持续生存的充分条件.并讨论了潜伏期时滞对疾病传播的影响,通过数值模拟验证了理论上所得到的结果. 第6章运用时滞微分方程稳定性和定性理论及分支理论等相关知识,首次分析了当感染细胞也具有分裂增殖时,HIV/AIDS感染CD4+T-细胞时滞模型的动力学性质,得到了感染细胞产生病毒微粒的临界值,给出了系统持续生存、感染平衡态稳定和系统产生Hopf分支的条件.并对时滞长度进行了估计.通过数值模拟验证了理论上所得到的结果.


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