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热对流的格子Boltzmann模拟研究

王佳  
【摘要】:本文构建了基于动理学Boltzmann方程的双多松弛时间的热格子Boltzmann(multiple-relaxation-time thermal lattice Boltzmann,MRT-TLB)模型,用于模拟满足Boussinesq近似的热对流运动,模拟的物理量是概率密度分布函数。该MRT-TLB模型是双分布函数模型,使用速度分布函数集{f i}和温度分布函数集{g i}分别对速度场和温度场进行模拟,两物理场通过{f i}演化方程中的浮力项和{g i}演化方程中的矩向量平衡态耦合在一起。由于使用MRT形式的碰撞算子,且松弛因子之间满足一定的约束关系,使得实际物理边界在流体区域外侧、距最外层流体格点1/2格距处,且物理边界的位置不随松弛因子的改变而改变,这是MRT碰撞算子相对于单松弛(single-relaxation-time,SRT)碰撞算子的优势。该双MRT-TLB模型通过Chapman-Enskog展开可以恢复宏观的Boussinesq近似下的Navier-Stokes方程,其中,宏观密度和速度分别是分布函数{f i}所对应的离散速度的零阶矩和一阶矩,温度是分布函数{g i}所对应的离散速度的零阶矩。使用该模型对存在左右加热差异的方腔对流和存在上下加热差异的Rayleigh-Benard对流进行了模拟,方腔对流的模拟参数范围为Prandtl数Pr=0.71、Rayleigh数Ra=10~3-10~6。Rayleigh-Benard对流的参数范围为Pr=0.71和7.0、Ra=10~3-10~5。主要结果如下: (1)对方腔对流和Rayleigh-Benard对流,计算了不同网格分辨率下的速度场、压力场和温度场的整体误差范数。结果表明,当网格数增加时,所有物理场的误差都单调递减,说明本文的模型具有网格收敛性,且误差的收敛率在2.0以上,说明模型具有二阶精度。 (2)研究了Mach数的变化对本文的双MRT-TLB模型模拟结果的影响,分别计算了对速度场、压力场、温度场的影响,以及对热力学变量(包括平均或局地的Nusselt数)和动力学变量(包括流函数、最大速度及其位置等)的影响。结果表明,无论是对物理场,还是对热力学或动力学变量,Mach数变化对计算结果影响的量级在10~(-7)左右,影响极小。 (3)在方腔对流的模拟中,测试了达到稳态的迭代次数与Mach数Ma、网格数N以及Rayleigh数Ra的关系,可知,由于Mach数相当于LatticeBoltzmann(LB)模型中的CFL数,网格数又与时间步长成反比关系,且Rayleigh数增大会导致边界处温度梯度增大,因而得到了迭代次数Nt与Mach数、网格数以及Rayleigh数的近似关系:Nt∝N Ra~(lg2) Ma~(-1)。因此,在Mach数低于其上限Ma*的情况下,可以适当地加大Mach数,以提高计算效率。 (4)将本文模拟得到的方腔对流的结果与前人使用Navier-Stokes方程的不同差分格式得到的结果,以及前人使用其它的LB模型模拟得到的结果进行比较,可得,本文的结果与较高精度的基准解吻合的较好,相比于其它的LB模型具有一定的优势。模拟得到了压力场、温度场和流场,可见,随着Rayleigh数的不断增大,左右壁面处的温度梯度加大,方腔中央的等温线变得平直,表明传热机制由Ra较低时的热传导为主转变为Ra较大时的热对流为主,且中心位于方腔中央的流线圈逐渐分化,并向冷暖壁面靠近。 (5)模拟得到了不同Rayleigh数和Prandtl数下的Rayleigh-Benard对流的压力场、温度场和流场。当Rayleigh数小于等于5×10~4时,无论对Pr=0.71还是Pr=7.0,物理场随Rayleigh数的演化都较为类似,即在Ra Ra_c时,扰动发展组织成对流圈,随着Rayleigh数的增加,对流逐渐加大,热传输机制逐渐以热对流为主。而且在Rayleigh数较大时,P r=7.0时的Nusselt数比Pr=0.71的小,这表现为Pr=7.0时水平剖面上较小的温度差。当Rayleigh数增加至6×104时,出现了分叉,P r=0.71时流场的终态依旧是定常的,但是对于Pr=7.0,系统不会达到定态,而是做周期运动,无论是Nusselt数还是流场、温度场,均表现出了周期振荡的特性,且流场和温度场的振荡周期是Nusselt数振荡周期的2倍。 (6)使用不同的分辨率计算了Rayleigh-Benard对流的临界Rayleigh数Ra_c,并通过最小二乘拟合得到了独立于网格的渐近值,为1707.968375,与理论值的误差仅为0.012%。 (7)在Pr=0.71且Ra=10~4时,研究了不同侧边界对Rayleigh-Benard对流的影响,即周期边界和绝热无滑移边界。表明,绝热无滑移边界通过侧边界的粘性摩擦作用抑制了对流的发展,从而使得对流传热减弱,即采用绝热无滑移边界时,Nusselt数较小,为2.4049,周期边界时为2.6551。


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