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基于小波的辛与多辛算法

朱华君  
【摘要】:自然界中的许多物理现象可以通过无穷维Hamilton系统和多辛偏微分方程来描述,它们分别具有内在的辛结构和多辛结构.辛算法和多辛算法能够分别保持这两类结构,在长时间数值模拟和保持系统不变量方面具有很大的优势.另外,小波方法兼有差分法和谱方法的优点,在求解奇异问题时具有优越性.本文基于小波方法构造辛与多辛算法,并将算法推广到高维情况,主要的工作包括: 1.对无穷维Hamilton系统构造了辛小波配点格式.运用基于Daubechies小波的自相关函数的小波配点格式,将无穷维Hamilton系统化为有限维Hamilton系统,然后运用辛Runge-Kutta格式作时间离散.证明了小波配点空间离散矩阵具有特殊性质,并证明了辛小波配点格式的收敛性以及对系统不变量的保持特性.对非线性波动方程和非线性Schr(o|¨)dinger方程进行数值模拟,结果表明所构造格式具有空间高精度、长时间数值模拟能力、奇异解捕捉能力和不变量保持能力等良好特性. 2.对多辛偏微分方程构造了多辛小波配点格式.运用小波配点格式对多辛偏微分方程作空间离散,再用辛格式作时间离散.证明了半离散系统具有N个半离散多辛守恒律和N个半离散能量守恒律,全离散格式具有全离散多辛守恒律和整体的辛守恒.对非线性Schr(o|¨)dinger方程和Camassa-Holm方程进行数值模拟,结果表明所构造格式具有辛小波配点格式的良好特性,而且能较好地保持局部守恒律. 3.对非线性Schr(o|¨)dinger方程构造了辛与多辛小波谱格式.空间离散运用小波谱离散并通过快速Fourier变换减少计算量,时间离散采用辛Runge-Kutta格式,构造了多辛小波谱格式.另外,还将小波谱离散与分裂格式结合构造了显式分裂辛与多辛小波谱格式.数值结果表明所构造格式跟辛与多辛小波配点格式相比,计算结果相近而计算量更小. 4.将辛与多辛小波算法推广到高维.对二维非线性Schr(o|¨)dinger方程、量子力学里的时变Schr(o|¨)dinger方程、三维Maxwell方程进行求解,并分析了格式的稳定性、对系统不变量的保持特性以及数值误差与CPU时间的关系.数值结果表明,算法推广到高维仍有效并能保持格式在求解一维问题时的良好性质.


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