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典型结构大型线性方程组的分布式并行算法研究

骆志刚  
【摘要】: 典型结构大型线性代数方程组的求解是许多应用领域的基础,长期以来,伴随着计算环境的不断变化,人们对于求解各种类型大型线性方程组的适应新的计算环境的新方法的探求从来也没有停止过。目前,分布式存储并行处理机系统已经成为许多科学和工程的计算环境,成为求解重大挑战性问题的首选工具;因而,作为科学和工程计算中最基本最重要的问题之一——典型结构大型线性方程组的求解,其在分布式存储环境下高效率的并行求解方法的研究和设计,就具有非常重要的理论和实际意义。 本文基于分布式存储环境,研究若干典型结构大型线性方程组的并行计算问题。主要完成了如下工作: (1)研究了循环三对角线性方程组的分布式并行求解,提出了一个基于分治策略的并行算法,其缩减方程组保持与原方程组相同的结构,且当原方程组为对角占优时,缩减方程组也保持对角占优,这一算法的绝对加速比满足: (2)研究了三对角线性方程组的分布式并行求解,提出的算法较现有算法更进一步避免了不必要的冗余计算,更好地平衡了各处理机之间的负载,充分地利用了计算与通信重叠技术。其绝对加速比满足:并行效率满足: (3)研究了Toepliz循环三对角线性方程组的分布式并行求解,基于矩阵乘积分解,提出了一个高效的并行算法,其绝对加速比满足:理论上,这是并行算法可以达到的理想结果。 (4)研究了Toepliz三对角线性方程组的分布式并行求解,同样基于对系数矩阵的分解,提出了一个高效的分布式并行算法,该算法充分利用系数矩阵结构的特殊性,避免了不必要的冗余计算,绝对加速比满足:理论上也达到并行算法的理想结果。 (5)研究了循环块三对角线性方程组的分布式并行求解,提出了以块运算为基础、算法实现调用BLAS3子程序的高效并行算法,算法效率较现有算法有较大提高。绝对加速比满足:此处s为子块大 国防科学技术大学研究生院学位论文 刁“。 (6)研究了块三对角线性方程组的分布式并行求解,提出了一种调用BLAS3 子程序且基于块运算的并行算法,算法通过将方程组求解工作量合理地分配到各 处理机,达到负载平衡,取得较高的并行效率。绝对加速比满足: 1452+275+l,_、,___.__\.山人L_从里场小一: S_(n、叶二己二-二二二:从二二(刀+2、又n一+aO),此处s为寸块大小。 J石5.+4》S+l (7)研究了一类实对称块三对角线性方程组的分布式并行求解,提出了一种 基于块矩阵分解的高效分布式并行算法,将其应用于求解带Dirichiet边界条件的 Poisson方程导出的块三对角线性方程组,得到加速比趋于线性加速比的分布式 并行算法,理论上说,这也是并行算法的理想情况。 (8)研究了三角形方程组的分布式并行求解,提出了一种利用计算与通讯重 叠技术的并行算法,这一算法在处理机运算速度较快,而处理机间通信相对较慢 的情况下非常有效。取得了比块列扫描算法好的效果,当方程组具有多重右端项 时,效果尤为突出。 (9)研究了非对称大型稀疏线性方程组的分布式并行求解,在提出修订的 BICG算法的基础上,提出了一种适于并行计算的:一BICG算法。由于BICG算法 是伦ylov子空间迭代法中Lanczos双正交化方法类的基础算法,s一BICG算法的 提出,可为进一步研究Lanczos双正交化方法类的s一steP推广奠定基础。


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