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布尔函数的代数免疫度与非线性度

屈龙江  
【摘要】: 布尔函数在序列密码、分组密码和Hash函数设计与分析中具有广泛应用。代数免疫度、非线性度和相关免疫度是衡量布尔函数安全性的重要指标。本文首先对具有最大代数免疫度的布尔函数的性质、构造与计数进行了深入细致的研究,然后讨论了具有高非线性度的弹性函数的构造,最后分析了布尔函数Walsh谱绝对值分布的性质与特点。主要成果有: (1)给出了具有最大代数免疫度的布尔函数的一个新构造方法,利用该方法,得到了该类布尔函数个数的一个下限,这是目前关于该计数的第一个确定性理论结果。 (2)证明了当n为奇数时,具有最大代数免疫度的n元对称布尔函数有且只有两个,从而解决了A.Braeken等人2005年提出的一个公开问题。 (3)给出了当n为偶数时,具有最大代数免疫度的n元对称布尔函数新的构造方法和一系列必要条件,讨论了这类函数的重量支撑集的性质。 (4)给出了具有最大免疫度的2~m元对称布尔函数的有效刻划,包括它们的值向量、代数正规型、代数次数和重量等性质。 (5)研究了Bent函数和弹性函数的最小距离,将计算该最小距离的问题归结为构造满足特定条件矩阵的组合问题和特定形式Bent函数的存在性问题,由此给出了Bent函数和1阶弹性函数最小距离的一个下限。 (6)指出了布尔函数Walsh谱绝对值分布在仿射变换下的不变性,计算了一些布尔函数的Walsh谱绝对值分布,给出了一个集合恰为某个布尔函数的Walsh谱绝对值分布的必要条件。


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