L-稳定格式求解结构动力学方程和多体系统动力学方程

【摘要】： 航天工程实际问题中包含大量结构和机构系统，如卫星包含天线和帆板等柔性结构，天线和帆板展开过程又是机构运动。研究结构的动力学行为，通常是对结构动力学方程进行研究；研究机构的运动，通常利用多体系统动力学的建模理论，建立多体系统动力学方程。空间离散的结构动力学方程为常做分方程的初值问题，多体系统动力学方程为做分一代数方程的初值问题。本文的主要目的是试图研究这两类方程的数值求解。 采用Runge-Kutta方法求解结构动力学方程。针对增量形式的结构动力学方程，推导了Runge-Kutta方法的迭代形式，研究了降低计算量的两种办法，发现了一些传统格式与Runge-Kutta方法之间的关系。基于单自由度自由振动方程，推导了Runge-Kutta方法求解结构动力学方程的逼近算子，直用逼近算子的谱半径可以分析Runge-Kutta方法求解二阶常做分方程的稳定性。通过谱半径图分析出各种格式的数值阻尼的强弱，发现高精度的L-稳定格式具有理想的数值阻尼，在精确求解低频振动的同时很好的抑制高频震荡。通过算例研究，发现较小的物理阻尼在精确解上能快速的耗散高频震荡，对数值计算却影响很小。从而得出结论：在数值计算中通过增加物理阻尼抑制高频震荡是不可行，而采用有数值阻尼的算法才是可行的。 直用适合求解高指标做分-代数方程的求解器，求解高指标形式的多体系统动力学方程。发现采用高指标形式的多体系统动力学方程，使用隐式形式做分方程需要引入新的求解变量少，而且能保持原系统矩阵的稀疏特性。但是存在两个缺点：（1）加速度变量和拉格朗日乘子的求解精度低于位移变量、速度变量的求解精度；(2)对协调一致的初始条件很依赖。针对这两个缺点，提出了对加速度变量和拉格朗日乘子修正的办法。采用修正能提高加速度变量和拉格朗日乘子的求解精度，提高整个计算过程中的收敛性。数值算例表明，采用修正能降低求解的计算量，特别对于容许误差很小的情况，计算量降低更显著。 基于做分方程精确解的Taylor展式，提出了一种新的构造块格式方法；并采用指数函数的Pade逼近作为块格式的稳定性函数，构造出L-稳定的块格式。实际上，块格式也是一类Runge-Kutta方法，从而通过Runge-Kutta方法的精度条件，分析了L-稳定块格式的精度。针对隐式形式做分方程，推导了块格式的并行迭代和局部误差估计方法，采用变步长实现了6阶精度L-稳定格式，编制了求解器PBIDE(Prallell Blocksolver for Implicit Differential Equations)。 针对Runge-Kutta方法在求解做分一代数方程中出现精度降低的情况，提出了多步块格式。分析了多步块格式稳定性和精度条件，证明其为刚性精确的，且级精度与格式精度相同。数值算例表明在求解指标-2的做分-代数方程不会出现精度降低现象。构造出了2级3阶精度的多步块格式，此格式的稳定性函数为指数函数的4阶精度广义Pade逼近，且是L-稳定的；构造出了3级4阶精度的多步块格式，此格式的稳定性函数与Runge-Kutta的稳定性函数一样，为指数函数的有理分式逼近，也是L-稳定格式。推导了多步块格式的Nordsieck表达。基于2级3阶精度的多步块格式，对隐式形式做分方程，采用变步长进行了实现，编制了求解器MBIDE(Multistep Block solverfor Implicit Differential Equations)。 对求解器PBIDE和MBIDE进行测试，与现在使用广泛的求解器进行比较，比较了它们的运行精度和计算量。选用结构动力学的算例、多体系统动力学的算例和几个其它类型的算例对本文的两个求解器进行了测试，测试的结果表明这两个求解器是效率很高的。