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偏微分方程的小波求解法及其在燃烧计算中的初步应用

王昱  
【摘要】: 小波变换作为一种数学工具,可提供时域和频域的多分辨多尺度分析,具有“数学显微镜”的美誉,同时具有深刻的理论性和很强的应用性。虽然目前小波求解偏微分方程的相关理论尚未成熟,但是小波函数和小波变换的完美数学特性使其在数值计算领域显示出巨大的应用潜力,日益受到科学家和工程师的青睐。 本论文吸收了近年来小波分析在数值计算领域的研究成果,针对航天领域的燃烧数值计算问题,充分利用小波分析的良好时频特性和多尺度分层非线性逼近功能,融合了高精度高分辨率数值差分格式,提出了第二代插值提升小波与WENO5M高精度数值格式相融合的动态小波配点法,并研究了该算法在多组分燃烧计算中的应用问题。本文重点研究了如下五个方面的内容,即 1.研究了小波的相关基础理论,探讨了小波和多分辨分析的基本特性以及重要的性能指标,分析了Daubechies小波函数及其自相关函数的良好特性。 2.研究了小波非线性逼近技术。首先研究了小波多尺度、自适应非线性逼近的相关理论及其良好性质;其次较详细地给出了小波级数变换、Mallat快速算法和导数算子的小波表示方法;然后针对小波求解偏微分方程问题,研究了离散点的多分辨分析和小波动态自适应配点法,并将此递推迭代算法转化为矩阵运算,提出了适合编程运算的数值求解方法;最后通过经典的非线性Burgers方程,验证了算法的正确性和有效性。 3.研究了区间样条小波求解偏微分方程的多层配点法。首先论述了Sobolev空间H~2(Ⅰ)上的三阶样条小波的多分辨分析,分析了区间样条尺度函数和小波函数的优良特性;然后基于区间样条小波良好的插值逼近性质,给出了多尺度逼近的并行算法;最后采用经典算例验证了区间样条小波求解偏微分方程的有效性和正确性。 4.提出了第二代插值提升小波和WENO5M格式相融合的偏微分方程数值算法。首先研究了插值小波、双正交小波和第二代提升小波理论的构造框架;其次分析了高精度、高分辨的WENO5M数值格式:然后提出了融合第二代小波和WENO5M格式的小波动态自适应配点法;最后采用几个经典算例验证了该算法的有效性和正确性。 5.研究了小波分析在多组分燃烧计算中的应用问题。首先给出了多组分燃烧过程的动力学模型,建立了含有化学反应的多组分流的控制方程组;然后引入了矢通量分裂算法,给出了Jacobian矩阵特征向量的表达式;最后在综合了Fedkiw和Singh采用的多组分燃烧算法优点的基础之上,采用第二代小波和WENO5M格式结合的小波动态自适应配点法研究了多组分燃烧流动问题,仿真结果表明本文算法的正确性和有效性,同时也说明了小波分析在燃烧数值计算中的巨大潜力。


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