离散与小波变换新型算法及其在图像处理中应用的研究

【摘要】：作为特殊的多带完全重构滤波器,包括M带小波、各种离散正交变换在内的变换方法在信息处理,尤其是在图像处理中具有非常重要的地位和作用。论文以M带含参数线性相位小波变换以及小波与离散变换整数实现及其应用为研究对象,以低复杂度算法为核心,建立了多种多带小波的构造理论与方法,得到了包括小波变换、各种离散正交变换在内的整数变换算法体系；利用该理论体系,深入研究了包括图像压缩、数字水印、三维地形表示以及图像超分辨等诸多图像处理应用问题。 本文的研究工作由新型算法的理论研究和图像处理应用研究两个方面组成。第一部分理论研究的主要成果有： 1.建立了五种多带小波的构造方法。 (1)通过研究多带完全重构滤波器长度、消失矩以及滤波器系数之间的关系,提出了多带小波构造的线性方程组解法,该方法对于滤波器带数较小时非常简单高效。 (2)通过研究完全重构滤波器多相矩阵提升分解的一般形式,利用小波消失矩与Euclidean算法,建立了由基于提升分解的完全重构滤波器构造方法。 (3)通过揭示离散变换本质上为具有至少一阶消失矩的完全重构滤波器特性,提出了基于离散变换方法的多带完全重构滤波器构造方法。 (4)通过建立完全重构滤波器分解与重构端多相矩阵关系式,利用矩阵函数平移方法,从一个滤波器出发求出了所有其他分解与重构滤波器长度之和与之相等的滤波器。 (5)另外,为了解决由于带数增加而导致现有构造方法运算量急剧增加的问题,利用计算机代数学中的Groebner基和合冲模算法理论,并通过建立矩阵多项式的正交分解方法,建立了多带小波的高效、高精度方法。 本文找到的双正交小波其变换系数大部分是带参数的,搜索发现,当该参数属于某个区间时,找到的滤波器系数为双正交小波滤波器系数,因而很容易地找到具有良好计算性质的二进制系数小波。同时利用五种方法得到的小波各具特色。 总之,本文建立的系列小波构造方法克服了经典的Daubechies方法需要多项式开方的困难,以及得到的小波滤波器系数为无理数的缺陷,同时,也避免了Sweldens提升分解方法不能揭示小波的重要性质——消失矩的问题,极大地丰富了已有小波变换系数的内容。人们可以根据需要,采用不同的方法,非常方便地构造和选用合适的小波变换。 2.建立了各种离散三角变换整数实现的系统理论与算法。 利用作者建立的系列离散变换浮点快速算法,并研究离散正交变换矩阵的稀疏提升分解性质： (1)提出了一般长度情形下具有提升结构的整数DCT算法以及带尺度整数DCT算法。 (2)建立了各种离散变换矩阵的具有提升结构的新型稀疏分解,从而建立了整数DCT、整数DFT、整数DHT以及整数DWT的统一快速算法,上述算法的算术运算量在浮点运算次数总数意义下是最优的,而整数DFT则避免了复数运算。 (3)设计了利用第二类整数DCT计算所有整数离散变换的统一快速算法。所有整数变换只需移位与加法,从而可以避免浮点运算。 (4)为了克服(块)离散变换实施在图像上时产生边缘效应的问题,根据输出变换系数的加权,论文提出了一种加权整数重叠式变换(IntWLPT)理论与算法。 第二部分内容研究整数小波与离散变换在图像压缩、数字水印、三维地形的带参数小波表示、Toeplitz系统求解及其在图像超分辨中的应用等问题。主要包括： (1)从建立低复杂度、低存储、适合硬件实现、高保真图像压缩方法的角度出发,基于“带”的(局部)小波变换,提出了一种带量化的集合分裂编码方法,建立了一种提高变换效率的带尺度小波提升分解,从而得到一种低存储、低复杂度的图像压缩方法。利用该方法与IntWLPT实施图像压缩时,在图像质量与JPEG 2000方法相近的前提下,存储开销减少75%,运算量减少54%。进行FPGA硬件仿真表明,利用本文得到的小波变换,只需保留其系数的二进制小数4位(即小数值不小于1/16),则按照软件压缩所得到的图像客观质量PSNR值与相应硬件仿真得到的PSNR相近,但易于硬件实现。 (2)利用整数小波可以实现图像无损表示的特性,讨论了在数字高程模型(Digital Terrain Model, DTM)环境下的低计算复杂度数字水印新技术,该水印方法抗攻击和干扰的能力强,具有高度安全性。 (3)应用带参数的小波变换,提出了一种利用含参数小波实现三维地形表示的高精度、低复杂度方法,在保证高精度的前提下,需要的三角形个数比国际通用方法减少16%左右。 (4)在多重网格理论的框架下,通过小波变换矩阵构造出有效的限制与延拓算子,建立了一种高效、高精度的Toeplitz系统求解方法,基于此提出了图像超分辨的新型算法,图像恢复质量比经典的整体迭代法提高近7dB,获得了良好的图像超分辨效果。