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变分法在差分方程与脉冲微分方程中的应用

张浩  
【摘要】: 本学位论文的主要内容分为两部分,第一部分(第二章到第六章)主要讨论二阶差分方程的周期解、同宿轨、异宿轨、异宿链以及混沌的存在性,并讨论了一类二阶Hamiltonian系统异宿轨数值解的收敛性.第二部分(第七章到第九章)主要讨论二阶脉冲微分方程的周期解、同宿轨和异宿轨的存在性. 在本文第一部分,我们首先利用变分法研究了一类差分方程的周期解、异宿轨和异宿链(异宿链:一组首尾相接的异宿轨)的存在性.接下来当异宿链满足一定的孤立性条件时,我们证明了异宿链附近存在无穷多条周期解、同宿轨和异宿轨.在这些结果的基础上,我们证明了该方程不仅存在近似Bernoulli平移结构(approximate Bernoulli shift structure),而且是拓扑混沌的.当此类方程满足一定的周期性条件时,我们还得到了Li-Yorke混沌的存在性.利用前面得到的这些结果,我们还讨论了一类连续Hamiltonian系统异宿轨的数值解,得到了异宿轨数值解的收敛性.在本部分的最后一章我们将前面得到的结果应用于单摆方程,通过数值方法验证了混沌存在性定理的条件,进而得到了当差分步长h不是很小时,离散单摆方程是拓扑混沌和Li-Yorke混沌的. 在本文的第二部分,我们首先研究了一类二阶脉冲微分方程由脉冲生成的周期解的存在性.这里,一个周期解称为是由脉冲生成的是指该周期解的存在性依赖于脉冲的存在性(详细定义将在文中给出).利用变分法,我们不仅得到了此类周期解的存在性,而且对解个数给出了一个估计,该估计完全由脉冲微分方程在一个周期内发生脉冲的次数决定.接下来,利用前面得到的周期解,我们证明了由脉冲生成的同宿轨的存在性.最后我们利用极小化方法证明了此类脉冲微分方程异宿轨的存在性.本部分得到的若干结果不仅可以应用于脉冲微分方程,也可以应用于常微分方程和差分方程.在这两类方程的应用中,我们得到了全新的结果.


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