布尔函数的线性结构分析与级联构造

【摘要】：布尔函数在密码系统的设计中有着重要的应用,某些密码系统的安全性从一定程度上取决于布尔函数的密码学性质,如非线性度、代数次数、相关免疫性、扩散性、线性结构、代数免疫性等。然而布尔函数的某些密码学性质是相互制约的,因此研究布尔函数各种密码学性质之间的关系对构造具有良好密码学性质的布尔函数具有重要意义。本文主要研究了布尔函数部分密码学性质之间的关系,讨论了级联构造法在布尔函数构造中的应用,具体工作如下： 首先,研究了旋转对称布尔函数的线性结构和快速点,讨论了Elsheh提出的旋转对称布尔函数的代数次数和线性结构之间关系的两个公开问题：对任意的n3,代数次数为n-1的偶变元平衡旋转对称布尔函数和代数次数为n-2的奇变元旋转对称布尔函数均不存在非零线性结构。给出了公开问题1的完全证明,证明了3(?)n的情况下公开问题2的正确性,得到了3|n的情况下公开问题2不成立的必要条件。 其次,分析了Sarkar和Maitra构造的一类具有最优代数免疫的奇变元旋转对称布尔函数的Walsh谱值,通过级联此类布尔函数,构造了一类偶变元1阶弹性最优代数免疫布尔函数。又通过修改奇变元择多布尔函数在多对轨道的函数值,给出了偶变元1阶弹性最优代数免疫布尔函数的扩展构造方法。同时兼顾1阶弹性的最优代数免疫布尔函数具有更大的应用价值。 最后,扩展了孙光洪等提出的级联构造方法。通过增加t个变元级联t+1个布尔函数(称之为基函数),构造了一类级联布尔函数。给出了该类布尔函数的Walsh谱和自相关函数与其基函数关系的一般表达式,并以此为工具,详细分析了该类布尔函数的相关免疫性和扩散性。通过讨论发现,在基函数的密码学性质较好的前提下,级联布尔函数的密码学性质也较好。该类级联布尔函数可在构造具有特殊Walsh谱值的布尔函数中发挥重要作用。