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齐型空间上某些算子的有界性和极大算子的复合

张昊  
【摘要】:齐型空间( X , d ,μ)是指集合X上赋予了一个对称的拟度量d和一个非负、正则的Borel测度μ满足双倍条件:存在常数C≥1,使得对任意的x∈X和r 0,有 μ(B(x, 2r ))≤Cμ(B(x, r)) ∞. 其中B ( x , r ) = { y∈X : d ( x ,y )r}是以x为中心, r为半径的球. 本文主要围绕齐型空间上Calderón-Zygmund奇异积分与BMO函数的交换子的有界性展开研究工作.在标准核条件下,建立了奇异积分交换子的Cotlar型不等式.在较弱的核条件下,借助Fefferman-Stein的sharp极大算子,给出了极大奇异积分交换子的加权有界性的证明.本文还建立了极大奇异积分算子的一个加权弱端点估计,将Euclidean空间上与Young函数相关的极大算子的一个结论推广到了齐型空间上. 第二章的主要工作是,当奇异积分算子的核函数关于两个变元满足H(O|¨)lder光滑性条件时,建立了奇异积分交换子的Cotlar型不等式.作为应用,利用该不等式证明了极大奇异积分交换子的加权有界性.另外,当奇异积分算子的核函数关于第一变元满足H(O|¨)rmander光滑性条件,关于第二变元满足H(O|¨)lder光滑性条件时,借助Lorentz空间,建立了极大奇异积分算子的一个加权弱端点估计.应该指出的是,这部分建立的Cotlar型不等式以及满足较弱核条件的加权弱端点估计,即使在Euclidean空间,也是新的. 第三章的主要工作是,当奇异积分算子的核函数关于第一变元满足H(O|¨)lder光滑性条件,关于第二变元满足较弱的光滑性条件时,借助Fefferman-Stein的sharp极大算子M_0~#,s,证明了极大奇异积分交换子的加权有界性.极大交换子的加权估计,因其核函数满足较弱的核条件,即使在Euclidean空间,也是新的. 第四章讨论了与Young函数相关的极大算子的复合问题,将Carrozza和Passarelli Di Napoli在Euclidean空间上的结论推广到齐型空间上,改进和完善了Pérez和Wheeden的一个结果.同时应该指出的是,与Pérez和Wheeden的讨论相比,本文给出的证明方法更加简洁.


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