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本原正规多项式系数分布的研究

王小哲  
【摘要】:本论文利用p-adic方法和Galois环上的指数和估计研究了有限域上本原正规多项式的系数分布问题,提出了本原正规Hansen-Mullen猜想,并证明了n≥9时上述猜想成立,即对任意的n≥9, q为某个素数方幂,存在有限域Fq上n次本原正规多项式使得其任意一项系数可以预先给定。 有限域上的本原正规元及本原正规多项式在密码学,特别是公钥密码系统的快速实现中具有非常重要的应用,其系数分布的研究受到很多学者的关注,并在有限域上的快速运算、快速傅里叶变换、纠错码理论等方面都有重要的理论意义和应用价值。 为解决本原正规Hansen-Mullen猜想,本文首先利用p-adic分析方法和Galois环上本原正规多项式的根与系数的关系将有限域上本原正规多项式系数预先给定的存在性问题转化为Galois环上某个迹方程组本原正规解的存在性问题。在建立迹方程组时,针对本原正规多项式的互反多项式可能不是本原正规多项式的问题,引入了关于变量x-1的迹方程式,给出了本原正规多项式后一半系数中任意一项系数的表达式;另一方面,通过引入z-判别准则给出了本原正规Hansen-Mullen猜想的新的问题约化,使估计结果提高了O(q1/2)。 然后利用指数和估计和Cohen筛法建立了判断本原正规Hansen-Mullen猜想是否成立的一般性判定条件,并引入在标准互补因子下的Cohen筛法的新形式。这种新的筛法可以对整数qn– 1的因子和多项式x~n– 1的因子同时做筛法,从而大大提高了筛法效率。 最后分别对q n≥15, 9≤n≤14且q 100, 16≤q≤n, q 16四种情况考察判定条件是否成立,通过对在特定条件下整数的不同的素因子个数和多项式的不同的不可约因子个数的细致分析,采用一些计算技巧将可能的例外值降到计算机可以搜索的范围内。最终得到以下结论定理:设n≥9, q为某个素数方幂。对任意的a∈Fq,除(m, a) = (1, 0),对所有1≤m n,存在有限域Fq上n次本原正规多项式f (x) =x~n-σ1x~~(n-1)+ + (-1)~(n-1)σ~(n-1)x + (-1)nσn,使得第m项系数σm = a。


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