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广义逆矩阵计算及在矩阵方程中应用的研究

尧礼辉  
【摘要】: 广义逆矩阵已经获得了很多成果,应用十分广泛。矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的工具,因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以说,凡是用到矩阵的地方,都有可能用到广义逆。随着广义逆矩阵研究的深入,其应用的范围越来越广,在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用广义逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题,长方、病态线性、非线性问题,无约束、约束规划问题,系统识别问题和网络问题等领域,广义逆矩阵更是不可缺少的研究工具。 本论文对广义逆矩阵的计算及广义逆矩阵在矩阵方程中的应用进行了研究,主要获得了以下成果: 1.结合广义逆矩阵的性质,通过求解矩阵方程,给出了一种计算广义逆矩阵的方法;利用矩阵的QR分解给出了一种计算列(行)满秩矩阵的Moore-Penrose逆矩阵的方法;另外,对三种常用的计算广义逆矩阵的方法的计算量进行了分析。 2.计算了两类特殊矩阵:反对称矩阵和正规矩阵的各类广义逆矩阵。 3.利用Moore-Penrose逆矩阵解决了矩阵方程AX=XW分别在SR~(n×n)和SR_P~(n×n)中有解的充分必要条件,并给出了通解。 4.通过广义{1,3}-逆矩阵解决了以X∈R~(n×n)为未知矩阵的矩阵方程AX=B分别在SR~(n×n),SR_P~(n×n)和SAR_P~(n×n)中的解及最小二乘解。 5.通过Moore-Penrose逆矩阵研究了以B为未知矩阵的问题(?)分别在S和S_P中解的情况,并给出了解的形式。这里S={A∈SR~(n×n)|AX=XW},S_P={A∈SR_p~(n×n)|AX=XW}。 6.利用Moore-Penrose逆矩阵研究了矩阵方程X~HAX=A的求解,这里A为不可逆的Hermite矩阵,并给出了解的形式。


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